三维重建中经常遇到的拓扑学概念的通俗解释

点云重建过程中，经常遇到恶心的概念，读文献时候，尤其英文文献，看到这些东西完全读不下去。

吐槽一下，在学习时候，直接上来这些概念让人很蒙，对于概念，学习还是先有一个直观的形象比较好，要想明白为什么这样定义，以及在实际中运动。我很推崇知乎上关于傅里叶变换通俗讲解的那个帖子，今天按着这个思路来整理下自己遇到的疑惑。

首先，讲讲“重建”：1、指的是通过CT、MRI、PET等设备，把一些物理属性转变成我们通常看见的图像的过程，常见算法有FBP、迭代重建等，多属于生物医学工程范畴，这种“重建”与本文关系不大。

接着，讲讲三维投影。“三维投影”概念先不管它，真实世界点（x,y,z），显示屏坐标（x,y），“三维投影”就是把真实世界的点投影到显示器上。

而“三维重建”：1、把双目（多目相机）相机拍摄的两张图片，可以通过sift之类的方法，把二维图像的对应点匹配出来（二维点），并且反推出三维世界中点坐标，这个过程一般有摄像机标定，图像匹配，最后重建出三维坐标。这是计算机视觉方面内容，这方面讨论网上资料比较多，今天也不讨论这。

2. 今天所讲的三维重建，是通过点云拟合物体表面的过程。点云可以通过相机获取（前面所讲相机标定等过程），也可以通过其他扫描设备获取。这应该算计算机图形学范畴。大名鼎鼎的重建算法：MC(点云实际是通过切片图形获得，这个最基础和最经典的)，hoppe的Surface reconstruction from unorganized points，泊松等。这些方法都很经典，随便一篇都够一大段，而且我自己也不太会，以后有机会在学习。今天主角是delaunay/voronoi一类的算法（有个重要事实，默认采样点全来源与物体表面）。这类算法直接输入的数据就是点云坐标（不需要法向量），输出就是三角化后的网格。

二维下示例：

三维下示例：

图片来源文献《Reconstruction of Water-tight Surfaces through Delaunay Sculpting》，二维是用三角形填充，三维是用四面体填充。

相关概念，整理如下：

概念来源摘自维基百科。

单纯形（simplex）：几何学上，单纯形或者n-单纯形是和三角形类似的n维几何体。精确的讲，单纯形是某个n维以上的欧几里得空间中的（n+1）个仿射无关【仿射无关http://blog.csdn.net/hqh45/article/details/49591403】（也就是每有m维平面包含m+1个点；这样的点集被称为处于一般位置，也就是没有退化情况，三维下是指不存在五点共球）的点的集合的凸包。例如，0-单纯形就是点，1-单纯形就是线段，2-单纯形就是三角形，3-单纯形就是四面体，而4-单纯形是一个五胞体（每种情况都包含内部）。

delaunay之类算法中，二维用三角形（2-单纯形），三维用四面体（3-单纯形）填充物体的。

单纯复形（simplicial complex）是拓扑学中的概念，指由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而得的拓扑对象，由前文点云重建出来的鸟和兔子都是单纯复形

维基中定义:

需要注意的是，约定空集是任何单纯形的面，所以两个不相交的单纯复形也可以被看作是一个单纯复形。

这里必须解释一下“单纯形的面”：

任何n+1点集的非空子集的凸包定义了一个n-单纯形，称为该n-单纯形的面。面本身也是单纯形。（n+1点）的m+1子集的凸包是一个m-单纯形，称为n-单纯形的m-面。 0-面（也即，一个点构成的面）称为顶点，而1-面称为边，(n − 1)-面称为面片，而n-面就是n-单纯形本身。

通俗地讲，二维下，三角形是2-单纯形，其面是线段（1-面，为三角形的子集）；三维，四面体，3-单纯形，其面是三角形（2-面，其四面体的子集）

还看这只鸟，（b）就是就是凸包。凸包内任意两个点的连线仍然在凸包内。并且，给定点集，其凸壳是唯一的。

这里，我还想扯一下“维度”这个概念。当初对n维空间剖分很不理解。通常我们理解，一维是数轴，二维是平面，三维是空间，四维是空间+时间。四维以上，就不好表示了。而在线性代数中，“n维线性空间”是指线性空间中，极大无关组的个数为n。其中，把“线性”去掉，n维空间与我们理解的一维是数轴，二维是平面，三维是空间其实是一致的。通俗说，一维空间，极大无关组个数就是1，任意一维向量lambda=k*1,"1"是基向量；二维空间，极大无关组个数是2，基向量取(1,0)和（0,1），任意二维向量lambda=a*(1,0)'+b*(0,1)……以此类推

voronoi图（voronoi diagram/Dirichlet tessellation),它是由一组由连接两邻点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成。

对于点集

里的种子点

，它的Voronoi区域

定义为：（百度百科，维基解释有点复杂）

1.设p，q是平面上的两个点，L是pq的中垂线，L将平面分为两个部分【L左】和【L右】，在【L】左内的点r有特性|pr|<|qr|，即位于【L左】内的点比平面其他点更接近p，不妨记H(p,q)=【L左】，同理H(q,p)=【L右】
2.给定平面上n个点的点集S={p1,p2,……pn}。定义V(pi)是所有j(i!=j)的H(pi,pj)的交集，即V(pi)表示比其他点更接近于pi的电的轨迹是n-1个半平面的交，这是一个不多于n-1条边的凸多边形区域，称为关联于pi的Voronoi多边形（域）

（来源http://blog.csdn.net/wypblog/article/details/7246589）

delaunay三角剖分与voronoi图对偶关系，二维下，如图所示：

虚线为delaunay三角剖分，实线为voronoi图。对于pqr三个点，Vor(p)表示p点的voronoi区域，Vor(q)表示q点的voronoi区域，Vor(r)表示r点的voronoi区域。所谓对偶为：Vor(p)、Vor(q)、Vor(r)相交的voronoi顶点（红圈圈出的点），对于三角形pqr；Vor(p)、Vor(q)相交的voronoi边对应边三角剖分pq，Vor(p)对于点p。

百度百科定义：

尤其注意“空圆特性”（三维情况下空球准则，即四面体的外接球不包含其他点）

另外，我们希望重建出来的表面是“流形”，通俗地说，如果一个网格模型中存在多个（3个或以上）面共一条边，那么它就是非流形的（non-manifold），因为这个局部区域由于自相交而无法摊开展平为一个平面了。“流形”有几种说法，取一种较为简单的：

（http://www.sigvc.org/why/book/3dp/chap3.6.2.htm，《3D打印：三维智能数字化创造》）

其实，我们在三角剖分过程中，希望的“流形”就是对于每个三角形内部的边，该边只关联两个三角形；边界边只有一个关联的三角形。多面体（polyhedron）是没有边界边的，它也是封闭的流形表面。也就是说，每个三角形在其三个边上各邻接一个三角形。

并且，如果S（三角化的表面）中每个点是正则（regular）的，S是二维流形。所谓“正则”（regular），是指顶点在S中的领域在拓扑上是一个圆盘。

三维空间中，凸壳（剖分后外边界）是二维流形。二维空间中，凸壳是一维流形（前面那只鸟，（b）就是一维流形，外边界每点知识关联两条边）

上述概念中，“豪斯托夫空间”、“同胚”仍然很绕口。具体解释一下：

“拓扑空间”：

（http://ims.nju.edu.cn/~meijq/manifold.pdf，《流行与几何初步》）

再看网友对豪斯托夫空间的通俗解释：

“同胚”（homeomorphic）WIKI：

"同胚"例子：

“微分同胚”：

对维度{\displaystyle \leq 3}的流形，可证明同胚的流形必为微分同胚；换言之，此时流形上的拓扑结构确定了微分结构。在四维以上则存在反例

（来源WIKI）

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