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引言

本文是金融工程特别系列的第一篇

1. FMM 大战 LMM - SOFR 企稳 Part I

金融工程正规系列

1. 弄清量化金融十大话题 (上)

2. 弄清量化金融十大话题 (下)

3. 金融工程高度概览

4. 日期生成

5. 变量计算

6. 模型校正

7. 曲线构建 I - 单曲线

8. 曲线构建 II - 多曲线 (基差)

9. 曲线构建 III - 多曲线方法 (抵押品)

10. 测度转换 (上) - 等价物转换

11. 测度转换 (下) - 漂移项转换

12. 产品估值理论

13. 产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF)

14. 产品估值 - 偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)

15. 产品估值 - 蒙特卡洛模拟法 (MC)

16. 产品风险理论 (AAD)

17. 风险计量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)

18. 风险计量 - 风险价值 (VaR)

19. 价值调整 - 凸性调整

20. 价值调整 - Quanto 调整

21. 价值调整 - 时间调整

22. 价值调整 - CVA

23. 价值调整 - DVA

24. 价值调整 - FVA

25. 价值调整 - MVA

26. 价值调整 - KVA

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注：该系列基于 Lyashenko A. 和 Mercurio F. 的论文 Looking Forward to Backward-Looking Rates。他俩在论文中提出了更为通用的 Forward Market Model (FMM)，它可以同时处理后顾型的 RFR 复合利率和前瞻型的 IBOR。两名作者也因此被评选了 Quant of the Year 2020，他们都认为 FMM 才是定价 RFR 期权的正确模型，而且只需在现有的 LMM 方法上改进一点，并不需要过多的额外开发人力。

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前言

ISDA 在2019 年9 月18 日发布的《Consultation on Final Parameters for Benchmark Fallback Adjustments》确定了

• IBOR 的替代利率 RFR

• IBOR 和 RFR 之间基差

其中 IBOR 全称是 InterBank Offered Rate，被替代利率，RFR 全称是 Risk-Free Rate，替代利率。从上面 ISDA 文件摘抄出来下面一段话：

…

overwhelming majority of respondents preferred the ‘compounded setting in arrears rate’ to address the difference in tenors and the ‘historical mean/median approach’ to address the difference in risk premia.

ISDA

ISDA 统计出绝大部分参与方希望用一个后置式的复合利率来作为 RFR，而且用不同年限的 IBOR 和 RFR 的历史差异的均值或中位值作为 IBOR 停止后当天就要使用的基差。定义 IBOR 公布日和终止日为 T_a 和 T_d，那么在终止日那天，我们有以下数学关系：

其中 X 是 ISDA 还未最终决定的一组参数，比如到底是用均值还是中位值来作为基差，而 l 代表历史数据的区间长度，目前可能选项是 5 年或 10 年。

利率通常是定义在计息区间（accrual period），起始日和终止日分别是区间的头和尾。举个具体例子，假设 USD LIBOR 3M 在 2021年12月20日终止，我们用 SOFR 3M 和 5 年历史基差来替代后LIBOR时代的第一天的 LIBOR。

• 5年数据从 2016年12月19日到 2021年12月19日。

• 第一个历史数据USD LIBOR 3M 是在 2019年12月19日定盘，而该利率到期于 2020年3月19日。

• 对应同区间的 SOFR3M 是由 SOFR 隔夜利率从 2019年12月19日一直累积到 2020年3月18日合成的。

上面完整的计算基差过程在下图中展示。

整个用 RFR 复合利率替换 IBOR 的过程看起来没有什么问题，但是细想，IBOR 是前瞻型（forward-looking）利率，在起始日就已经知道其值；而RFR 复合利率由于要不断累积 RFR 隔夜利率，因此是后顾型（backward-looking）利率，在终止日才能知道其值。两种利率对比的示意图如下。

由此可知两种概率从根本上范式都不相同。RFR 复合利率在付息日才能决定利息的大小，这从经济和操作角度给很多企业造成了麻烦。这样看来，向后看类型的利率不行，向前看类型的利率才行，我们需要动动脑筋，设计出一个向前看的 RFR 复合利率 R(T, T+τ)，即在T 时点就知道 R(T, T+τ) 的大小了（像 IBOR 一样）。一个最简单的设计就是用 T 点 R(T, T+τ) 的期望值作为向前看的利率，即 E_T[R(T,T+ τ)]。

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整个 FMM-vs-LMM 的系列内容很新，文章写太长也不便于读者消化，因此我把它分四贴完成。整个系列目录如下（本帖细讲第一章）：

目录

第一章 - 基础知识

1.1 延伸版 T-远期测度

1.2 向前看 vs 向后看的即期利率

1.3 向前看 vs 向后看的远期利率

1.4 FMM vs LMM 比较

第二章 - 远期市场模型 FMM

2.1 期限结构

2.2 风险中性测度下的 F_n(t)

2.3 即期测度下的 F_n(t)

2.4 T_k-远期测度下的 F_n(t)

第三章 - RFR 产品估值

3.1 RFR 期货

3.2 RFR 掉期

3.3 RFR 上下限

3.4 RFR 掉期期权

3.5 RFR 期限结构类产品

3.6 RFR 复杂产品

第四章 - FMM 模型校正

4.1 波动率建模

4.2 相关性建模

1

基础知识

1.1

延伸版 T-远期测度

再回到 T-远期测度的等价物 - 零息债 P(t,T)，它有个条件是 t ≤ T。当 t > T 时，零息债已到期，按理说这个等价物已不存在了。但如果我们把 P(T,T)，即零息债在到期日上的收益 1 投资到银行存款上，这样在任何一个大于 T 的时点 t，该「产品」的价格为

让我们把这个人造产品用  表示，其中 t 可以是任意值，我们有

显然  可以当成等价物，对应的测度符号用 Q^~T­ 表示，期望符号用 E^~T­ 表示。

1.2

向后看 vs 向前看的即期利率

复合利率

给定一组期限结构 0 £ T₀ < T₁ < … < T_N，其中 τ_n= T_n – T_n-1。对于每个时间 t，定义索引函数 h(t) = min{n: T_n ≥ t}，它表示离 t 最近但大于 t 的期限所对应的索引，易知 h(t) 是一个阶梯函数，如下图所示。

对于每个 n =1, 2, …, N，在 [T_n-1, T_n] 计息区间，我们将日单利（SOFR 1M 类）和日复利（SOFR 3M 类）都用连续复利来近似得到

证明过程如下。

向后看的即期利率

后置型利率（in-arrears rates）天生就有向后看的性质，因此我们只有等到计息期最后一天才能知道该利率的值。 R(T_n-1, T_n) 就是一个在 T_n 时向后看的即期利率。为了能一眼看出利率的向后看形式，我们在 R(T_n-1, T_n) 加一个向后的箭头 ←，用来取代。注意通常符号上用箭头代表向量，但记住这里表达的不是这个意思。

定义一个产品叫做银行存款掉期（Bank Account Swaplet, BAS），在 T_n 时点用 K 来交换银行存款在 [T_n-1, T_n] 区间的收益，如下图所示，

在 T_n-1 时点，BAS 的估值公式为

向前看的即期利率

现在可以定义一个向前看的利率，同样的为了能一眼看出利率的向前看形式，我们用一个向前的箭头 →，用来表示。它是使得 V_BAS(T_n-1) = 0 的 K 值，因此可解得

下图总结了向后看和向前看的即期利率和。前者是直到 T_n 才定盘，而后者在 T_n-1 就开始设定了。

1.3

向后看 vs 向前看的远期利率

向后看的远期利率

定义完即期利率，接下来就要定义远期利率了。想像个产品叫做向后看利率掉期（Backward-Looking Rate Swaplet, BLRS）在 T_n 时点用 K 来交换，如下图，

在 t 时点，BLRS的估值公式为

现在可以定义一个向后看的远期利率，用符号来表示。该利率就是使得 V_BLRS(t) = 0 时的 K 值，因此可解得

将 t = T_n-1 带入上式，我们发现在 T_n-1 这个时点，向前看的即期利率等于向后看的远期利率。

而且我们可以进一步推出的表达式

注意是一个单利付息的（和 IBOR 的范式相同）向后看（和 IBOR 方式不同）的远期利率，它的性质如下：

• 在 T_n-远期测度下是鞅

• 在 T_n-1 时点等于「向前看的即期利率」

• 在 T_n 时点等于「向后看的已实现利率」

• 在 T_n 时点后就被定盘了，因此当 t > T_n，

当 T_n-1 < t < T_n， 一部分已经在 [T_n-1, t] 被定盘了，还有一部分在 [t, T_n] 还在累积 r(s)，其表达式为

向前看的远期利率

想像个产品叫做向前看利率掉期（Forward-Looking Rate Swaplet, FLRS）在 T_n 时点用 K 来交换，如下图

在 t 时点，FLRS 的估值公式为

现在可以定义一个向前看的利率，用符号来表示，FL 是 Forward-Looking 的缩写。该利率就是使得 V_FLRS(t) = 0 时的 K 值，因此可解得

进一步推出的表达式，当 t ≤T_n-1 时，向前看的远期利率等于向后看的远期利率。

当 t > T_n-1 时，已经在 T_n-1 被定盘而不会改变了，其值为

下图总结了向后看和向前看的远期利率和。前者是直到 T_n 才定盘，而后者在 T_n-1 就开始设定了。

鞅过程 SDE 的漂移项为零，因此 F_n(t) 的 SDE 用以下方式来描述，

其中 σ_n(t) 是波动率，而 g_n(t) 是缩放因子。对于 g_n(t)，我们可用分段函数形式来区分不同时段中远期利率的特点

• 当 t < T_n-1 时，g_n(t) = 1 ，因为 F_n(t) 还未被定盘，以波动率 σ_n(t) 在演变。

• 当 T_n-1 < t < T_n 时，g_n(t) 成单调递减，因为这时一部分已经在 [T_n-1, t] 被定盘，一部分在 [t, T_n] 还未被定盘，但随着 t 靠近 T_n，未定盘的部分越来越小，因此波动率也就越小。

• 当 t > T_n 时，g_n(t) = 0，因为 F_n(t) 已经停止演变。

为了使函数 g_n(t) 连续，我们需要施加条件 g_n(T_n-1) = 1 和 g_n(T_n) = 0，再假设 g_n(t) 在区间 [T_n-1, T_n] 成单调线性递减，我们设计

至此我们已讨论完在任意 t 时的远期利率 F_n(t) 和零息债，它们可看成是传统的远期利率和零息债的延伸版。

1.4

LMM vs FMM 比较

和 LMM 不同的是，FMM 模拟的远期利率适用于任何 t。在具体 [T_n-1, T_n] 区间中，两者的区别在于

• LMM 模拟的 F_n(t) 在时点 T_n-1 就停止演变

• FMM 模拟的 F_n(t) 直到 T_n 并以常数形式演变

下面我们来模拟一下 LMM 和 FMM 框架下的远期利率。假设 T_n-1 = 9M, T_n = 1Y, F_n(0) = 2.5% 和 σ_n = 30%。对于 LMM，t Î [0,T_n-1)，对于 FMM，t Î [0, T_n)，

我尝试着用 cufflinks 来画图，效果很好。Python 代码如下，首先引入必要的几个包。

import numpy as np
import pandas as pd
import cufflinks as cf
np.random.seed(1031)

用上面设定好的初始值，选取 1000 个时点模拟 5 条利率走势路径。

(F0, sigma, T, tau, Nsim, Nt)
= (0.025, 0.3, 0.75, 0.25, 5, 1000)
t = np.linspace(0,T+2*tau,Nt)
dt = np.diff(t)z = np.random.randn(Nsim, Nt-1)
g = np.minimum( np.maximum(T+tau-t, 0)/tau, 1 )[:-1]
A = sigma*g*(z*np.sqrt(dt)) - 0.5*(sigma*g)**2*dt
lnF0 = np.tile(np.log(F0),(Nsim,1))
lnF = lnF0 + np.cumsum(A, axis=1)
lnF = np.hstack( (lnF0, lnF) )
F = np.exp(lnF) * 10
df = pd.DataFrame(F.T, index=t)

用 cufflinks 里面的 iplot 函数直接对 DataFrame df 画图

cf.go_offline()
df.iplot()

画出的图如下：

其实 cufflinks 画出的图是动图，上图只是它静止的样子。

五条模拟利率都从 2.5% 开始，看横轴从0 到 0.75 （0 到 9 个月）利率波动较大，从 0.75 到 1（9 个月到 1 年）波动慢慢减小，从 1 之后（1 年之后）波动为零。

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最后稍微总结一下 LMM 和 FMM 下用的测度、符号、计价物等等，不懂也无所谓，后面还有三帖呢。

下帖来推导 F_n(t) 在各种测度下的 SDE，只需用到我们之前讲过的「测度转换」和「漂移项转换」的技巧。

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