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引言

本文是金融工程特别系列的第三篇

1. FMM 大战 LMM - SOFR 企稳 Part I

2. FMM 大战 LMM - SOFR 企稳 Part II

3. FMM 大战 LMM - SOFR 企稳 Part III

金融工程正规系列

1. 弄清量化金融十大话题 (上)

2. 弄清量化金融十大话题 (下)

3. 金融工程高度概览

4. 日期生成

5. 变量计算

6. 模型校正

7. 曲线构建 I - 单曲线

8. 曲线构建 II - 多曲线 (基差)

9. 曲线构建 III - 多曲线方法 (抵押品)

10. 测度转换 (上) - 等价物转换

11. 测度转换 (下) - 漂移项转换

12. 产品估值理论

13. 产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF)

14. 产品估值 - 偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)

15. 产品估值 - 蒙特卡洛模拟法 (MC)

16. 产品风险理论 (AAD)

17. 风险计量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)

18. 风险计量 - 风险价值 (VaR)

19. 价值调整 - 凸性调整

20. 价值调整 - Quanto 调整

21. 价值调整 - 时间调整

22. 价值调整 - CVA

23. 价值调整 - DVA

24. 价值调整 - FVA

25. 价值调整 - MVA

26. 价值调整 - KVA

前言

在上贴「FMM 大战 LMM 2」中，我们主要推导出了 F_n(t) 在风险中性测度、即期测度和 T_k-远期测度下的 SDE。在估值和 RFR 挂钩产品时

1. 首先我们会选定一个「方便」的测度来

2. 然后利用 F_n(t) 的 SDE 配着伊藤公式推出 F_n(T) 的表达式

3. 接着将其带入到期日 T 的支付函数中

4. 最后能硬推就推出解析解，不能硬推就用数值解

到目前为止，和 SOFR 和 SONIA 挂钩期货已经在 CME 和 ICE 开始交易了，而和 SOFR 和 SONIA 挂钩掉期也在 LCH 和 CME 有交易了。

根据最新的发展，还没有任何和 RFR 挂钩的利率上下限和掉期期权开始交易。虽然期权类产品未问世没关系，但我们也要有点前瞻型，目前至少可以类比和 IBOR 挂钩的期权来推导出定价公式。对常见的 RFR 产品估值就是本帖要讲解的内容，目录如下：

目录

第一章 - 基础知识

1.1 延伸版 T-远期测度

1.2 向前看 vs 向后看的即期利率

1.3 向前看 vs 向后看的远期利率

1.4 FMM vs LMM 比较

第二章 - 远期市场模型 FMM

2.1 期限结构

2.2 风险中性测度下的 F_n(t)

2.3 即期测度下的 F_n(t)

2.4 T_k-远期测度下的 F_n(t)

第三章 - RFR 产品估值

3.1 RFR 期货

3.2 RFR 掉期

3.3 RFR 上下限

3.4 RFR 掉期期权

3.5 RFR 基差产品

3.6 RFR 复杂产品

第四章 - FMM 模型校正

4.1 波动率建模

4.2 相关性建模

3

RFR 产品估值

3.1

RFR 期货

具体来说，目前和 SOFR 和 SONIA 挂钩期货已经在 CME 和 ICE 开始交易了，它们分别都有 1M 和 3M 两种类型：

1. RFR-1M 期货：挂钩一个月的 RFR 算术平均值

2. RFR-3M 期货：挂钩三个月的 RFR 几何平均值

RFR-1M 期货

定义

1 个月 RFR 期货（SOFR-1M 期货，SONIA-1M 期货），其支付基于在参考月（reference month）中每个工作日上隔夜利率的算术平均。

具体来说，1M 期货利率 R 的计算方式如下

其中

• n = 在参考季度中工作日的总天数

• i = n 的运行索引

• ri = 第 i 个工作日上的 SOFR 利率

• di = ri 适用于的日历日 (当日期是星期五时 di = 3，当日期是其他工作日时 di = 1)

• D = Σidi = 在参考季度中日历日的总天数

以 SOFR 举例，对于一个 2017-08 的 SOFR-1M 期货合约，合约交割月是从 2017 年 8 月 1 日 (星期二) 到 2017 年 8 月 30 日 (星期四)，下图给出完整的每天计算过程。

要计算最后这个 SOFR-1M 的价格，我们需要先将所有的天数和 SOFR 乘起来，累加

1x103 + ... + 1x115 = 32.7

这个结果单位是 bp，除上 100 得到单位 %，再除以总天数 31 天得到 1.05483870968。最后根据合约规则要精确到小数点后 3 位 (1/10 bp)，得到 1.055%，最后计算出价格

100 - 1.055 = 98.945

RFR-3M 期货

定义

3 个月 RFR 期货（SOFR-3M 期货，SONIA-3M 期货），其支付基于在参考季度（reference quarter）中每个工作日上隔夜利率的集合平均。

具体来说，3M 期货利率 R 的计算方式如下

其中

• n = 在参考季度中工作日的总天数

• i = n 的运行索引

• ri = 第 i 个工作日上的 SOFR 利率

• di = ri 适用于的日历日 (当日期是星期五时 di = 3，当日期是其他工作日时 di = 1)

• D = Σidi = 在参考季度中日历日的总天数

以 SOFR 举例，对于一个 2017-06 的 3M-SOFR 期货合约，参考季度是从 2017 年 6 月 21 日 (第 3 个星期三) 到 2017 年 9 月 19 日 (第 3 个星期三前一个工作日)，下图给出完整的每天计算过程。

注意 01-Sep 深青高亮那行，由于 9 月 2 日和 3 日是周末，而 4 日是劳动节 (美国的公共假期)，那么 9 月 1 日的 SOFR 110bp 会在这四天生效，计算收益的公式如下：

(4/360) x (110/10000) = 1.000122222

要计算最后这个 SOFR-3M 的价格，我们需要先将所有的收益乘起来得到 1.002670427，然后年化得到年化利率 (%)

1.002670427 x (360/91) x 100

= 1.056432494

根据合约规则要精确到小数点后 4 位 (1/100 bp)，得到 1.0564%，最后计算出价格

100 - 1.0564 = 98.9436

---

对于 RFR-1M 和 RFR-3M 的具体估值方法论可以参考「凸性调整」一帖中的小节 3.2。核心思路就是用短期利率（short rate）模型 - 比如 Hull-White - 来表示零息债价格，而期货利率也可以分成已定盘（历史数据）和未定盘（可以用一串零息债价格来表示）两部分，模型参数通过最小化“模型 RFR 波动率”和“历史 RFR 波动率”的均方误差而得出。

3.2

RFR 掉期

定义

利率掉期是指交易双方以一定的名义本金为基础，将该本金产生的一种利率计算的利息收入(支出) 与另一种利率计算的利息收入(支出)。交换的只是不同特征的利息，没有实质本金的互换。

RFR 利率掉期是在固定利率与浮动利率之间进行互换，浮动利率是和 RFR 挂钩且期限为 3 个月或 6 个月的复合利率。

通常固定端和浮动端的付息频率也不同，假设分别有 N 和 M 个，RFR利率掉期的支付图如下。

假设考虑支付浮动端接受固定端，我们可将其分解成 N 个浮动支付减去 M 个固定支付，当 t < T₀ 得到

对应的远期掉期利率就是使得 RFR 利率掉期在 t 点为零的 K 值，用符号S_1,M(t) 来表示

其中 A_1,M(t) 是年金。

小节：整套估值 RFR 掉期和估值 IBOR 掉期的思路是一模一样的。当 t > T₀ 时，第一期的浮动端需要 RFR 历史数据来处理 F₁(t) 的被定盘那部分。

3.3

RFR 上下限

定义

在 RFR 上下限合约中，买方和卖方将同意以下内容：

• 就未来某段时期 T（1 年至 10 年）商定一个固定利率 K 作为利率上限/下限

• 对于上限，买方有权利在每期获得市场利率 F 与上限利率 K 的差额 (F - K)

• 对于下限，买方有权利在每期获得下限利率 K 和市场利率 F 的差额 (K - F)

• 而卖方一旦被行使期权时，则有义务支付该差额给买方

其中 F 是 3 或 6 个月的 RFR 复合利率，到目前为止 F 是否向前看或者向后看也没有一致的共识。

以 RFR 上限举例，它是由若干个上限单元（RFR caplet）组成，它们的支付图如下。

对第 n 个 caplet 的估值需要在 Q_n 测度下进行，我们证出向后看的 caplet 比向前看的 caplet 价值大，证明如下

和普通 caplet 一样，假设 F_n(t) 服从对数正态分布，即波动率函数 σ_n(t) = σ_nF_n(t)，其 SDE 为

根据伊藤定理和伊藤积分的等距性质（Isometry），解出

当 t < T_n-1时，套用 BLACK 公式，我们可推出两种 RFR Caplet 的公式

当 t ≤ T_n-1, g_n(t) = 1 和 T_n-1 < t ≤ T_n, g_n(t) = (T_n - t)/(T_n – T_n-1)，我们推导 BLACK 公式里的方差 v²(t, T_n-1) 和 v²(t, T_n)

推导上式的第二项得到

整理 v²(t, T_n) 得到

很明显 v²(t, T_n-1) < v²(t, T_n)，因此证实 V_F-caplet(t) < V_B-caplet(t)。

小节：整套估值 RFR 上下限和估值 IBOR 上下限的思路类似。底层模型还是 Black 模型，即 FMM 模型的特殊情况。由于上下限可以线性拆分成若干子单元，因此可对每个 F_n(t) 都选用使其为鞅的 T_n-远期测度。公式里的波动率要等有了 RFR 上下限市场后才可获取。此外 RFR 上下限盯的利率指标可以是「向前看」或「向后看」类型，目前没有统一意见，个人偏向「向前看」类型，因为它跟 IBOR 上下限更一致。

3.4

RFR 掉期期权

定义

在 RFR 掉期期权合约中，买方和卖方将同意以下内容：

• 买方付出期权金便有权利去行使

• • 支付型掉期期权 (payer swaption)：买方在到期日获得一个“支付固定端接受浮动端”的 RFR 掉期

  • 接受型掉期期权 (receiver swaption)：买方在到期日获得一个“接受固定端支付浮动端”的 RFR 掉期

• 卖方一旦被行使期权时，则有义务将上述 RFR 掉期给买方

RFR 掉期期权的支付图如下。

以支付掉期期权为例，在时间 T₀ 的支付为

根据

当 t < T₀ 时，所有 dF_n(t) 里面的缩放因子 g_n(t) = 1，因此在 dS_1,M(t) 里面可以不用加入缩放因子。在掉期测度下，S_1,M(t) 是鞅，因此其 SDE 用以下方式来描述，

其中 σ 是常数波动率，是掉期测度下的布朗运动。

根据伊藤定理和伊藤积分的等距性质，解出

套用 BLACK 公式，我们可推出 RFR 掉期期权的公式

小节：整套估值 RFR 掉期期权和估值 IBOR 掉期期权的思路类似。底层模型还是 Black 模型，但却是对 S_1,M(t) 而不是对 F_n(t) 建模。公式里的波动率要等有了 RFR 掉期期权市场后才可获取。

3.5

RFR 基差产品

本节我们来分析两种 RFR 基差产品，基差掉期和基差上下限。

RFR 基差掉期

定义

RFR 基差掉期是在向后看浮动利率与向前看浮动利率之间进行互换，浮动利率是和RFR 挂钩且期限为 3 个月或 6 个月的复合利率。

通常两端的付息频率相同，RFR 基差掉期的支付图如下。

回顾向前看和向后看的 RFR 复合利率的定义和性质

在未定盘时，即 t ≤ T_n-1 时，我们有

当 t < T₀ 时，我们有

此外，当 t 为任意付息日，以 t = T_k 为例（k= 1, 2, …, N），该基差掉期价值为零。证实如下

但是在任意计息区间 t ∊ [T_η(t)-1,T_η(t)] 中，该基差掉期价值不再为零，推导如下

RFR 基差上下限

定义

在 RFR 基差上下限合约中，买方和卖方将同意以下内容：

• 对于上限，买方有权利在每期获得后看利率与前看利率的差额 

• 对于下限，买方有权利在每期获得前看利率 和后看利率的差额 

• 而卖方一旦被行使期权时，则有义务支付该差额给买方

RFR 基差上下限是由若干个基差上下限单元（RFR basis caplet/floorlet）组成，它们的支付图如下。

以基差上限为例，当 t < T₀ 时，我们有

上面推导第四步是因为 F_n(T_n-1) 和 F_n(T_n)/F_n(T_n-1) 相互独立，最后一步是因为 F_n(t) 是鞅，而且

小节：RFR 基差产品和 IBOR 基差产品是不同的，RFR 基差向前看和向后看之间的差异，而 IBOR 基差是不同期限 - 比如 IBOR 3M 和 IBOR 6M - 之间的差异。由于 RFR 基差上下限没用传统意义上的行权利率，该产品用的波动率应该是 RFR ATM cap 的波动率。

3.6

RFR 复杂产品

在 IBOR 市场中，特别是 USD IBOR, EUR EURIBOR 和 JPY LIBOR，除了有简单的产品如利率掉期和利率上下限（跟远期利率 IBOR 挂钩）和利率掉期期权（和掉期利率 CMS 挂钩）外，还有大量的复杂产品。这些复杂产品本质上都是掉期，一端支付 IBOR，称为浮动端，另一端的支付函数千奇百怪，称为结构端。RFR 复杂掉期的支付图如下。

我们主要分析结构端，它们大致分为三类：

1. 和单指标 IBOR 或和其 CMS 挂钩

2. 和双指标 IBOR 或和其 CMS 挂钩

3. 和区间计息（range accrual）挂钩

类比 IBOR 世界中的远期利率和掉期利率到 RFR 世界中的的远期利率和掉期利率，RFR 的结构端也可以设计为三类：

1. 和单指标 RFR 或和其 CMS 挂钩

2. 和双指标 RFR 或和其 CMS 挂钩

3. 和区间计息挂钩

定义第 n 期结构端的利息为 C_n，那么在风险中性测度下，该 RFR 复杂掉期（exotic swap, ES）的价值为

接下来我们来看看每种 C_n 的具体形式。

种类 1：单指标

一些较为常见的结构端利息的表达函数如下：

在上表中，x 代表在固定日观察到的 RFR 远期利率或其掉期利率，s 代表基差利率，g 代表杠杆，c 代表上限利率，f 代表下限利率，c₁ 和 c₂ 代表固定利息，K 代表执行利率。

在通常情况下，和单指标钩挂的产品是可以线性分解成简单的掉期和上下限的，因此将分解的产品估值汇总即可。

种类 2：双指标

此类指的是含超过一个 RFR 或其 CMS 为参考指数的产品，可称为 RFR 基差或者 CMS 基差产品。在 T_n 时第 n 期的 RFR 基差或 CMS 基差利息为

其中 g, s, c, f  的定义和上面的一样。

远期利率 F 的下标 a 和 b 的单位通常是月，如果该支付和“期限为 6 个月的 RFR 和期限为 3 个月的 RFR”的基差有关，那么 a 等于 6， b等于 3。掉期利率 S 的下标 a 和 b 的单位通常和付息频率有关，如果该支付和“10 年的 CMS 和 2 年的 CMS”的基差有关，而且付息频率为每三个月，那么 a 等于 40（即 40 个季度为 10 年），而 b 等于 8。

由于远期利率 F 是只含一段期间的掉期利率 S，因此我们只用对不同期限的 S建模。在 FMM 中我们有一连串的 F_n(t)，而 S 可近似写成

那么根据 F_n(t) 的 SDE 可推出 S(t) 的SDE。

接下来根据产品支付函数的复杂程度来确定是否用解析解还是数值解（通常是蒙特卡洛）。对此类产品需要注意的是，产品价值和两个指标之间的相关系数有关系。

种类 3：区间计息

区间计息的特点是只有在参考利率（RFR 或CMS）落在规定的累计区间里（accrual range），利息才会被累计。但该支付的利息由另外一个支付利率而决定的。如果用 R_n(t) 来代表支付利率，X_n(t) 来代表参考利率，以及 L 和 U 来分别代表累计区间的下限和上限，那么在 T_n 时第 n 期的利息为

其中 #{·} 代表的是某个条件被满足的天数。支付利率一般是一个固定利率或浮动利率。

以上 C_n 表达式还可以有多个参考利率，而各自有各自的累计区间。比如说，对一笔双指标区间计息的结构端，C_n 定义如下：

其中◊ 代表的是交集 Ç 或并集 È。如果是前者，只有在各参考 X_n,1和 X_n,2 都落在各自的累计区间时，利息才会得到累计；如果是后者，任何参考 X_n,1 或 X_n,2 落在各自的累计区间时，利息都会得到累计。

该产品在少数情况（比如只看一个指标，支付利率是固定的）下有近似的解析解。

说近似是因为我们需要在 [T_n, T_n+1] 之间每个 t 上的 F_n(t)，但用 FMM 我们只能写出 F_n(T_n) 和 F_n(T_n+1) 的 SDE，因此其他 F_n(t) 的 SDE 需要用漂移项插值法来推导。

该产品在多数情况都没有解析解，因此只能用数值解（通常是蒙特卡洛）。

现在知道了如何用 FMM 模型对各种 RFR 挂钩的衍生品的定价了，还有一个问题，FMM 模型里面的参数如何制定？下帖的模型校正（model calibration）给你答案。

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