（海伦公式）已知三角形三条边长，求面积

海伦公式：
S=（△）=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p是三角形的周长的一半p=(a+b+c)/2.

～～～～以下转自百度百科～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

海伦公式海又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，

传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
　　假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　而公式里的p为半周长：
　　p=(a+b+c)/2
　　——————————————————————————————————————————————
　　注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
　　——————————————————————————————————————————————
　　由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
　　证明（1）：
　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
　　S=1/2*ab*sinC
　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
　　设p=(a+b+c)/2
　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　证明（2）：
　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
　　所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
　　q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
　　当P＝1时，△ 2＝q,
　　S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
　　因式分解得
　　1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
　　=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
　　=p(p-a)(p-b)(p-c)
　　由此可得：
　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　其中p=1/2(a+b+c)
　　这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
　　S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.
　　根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
　　已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
　　这里用海伦公式的推广
　　S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
　　代入解得s=8√ 3
　　海伦公式的几种另证及其推广
　　关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
　　设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则
　　S△ABC = aha= ab×sinC = r p
　　= 2R2sinAsinBsinC =
　　=
　　其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
　　海伦公式在解题中有十分重要的应用。
　　一、海伦公式的变形
　　S=
　　= ①
　　= ②
　　= ③
　　= ④
　　= ⑤
　　二、海伦公式的证明
　　证一勾股定理
　　分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
　　证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
　　x = y =
　　ha = = =
　　∴ S△ABC = aha= a× =
　　此时S△ABC为变形④，故得证。
　　证二：斯氏定理
　　分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
　　斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
　　若BD=u，DC=v,AD=t.则
　　t 2 =
　　证明：由证一可知，u = v =
　　∴ ha 2 = t 2 = －
　　∴ S△ABC = aha = a ×
　　=
　　此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
　　证三：余弦定理
　　分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
　　证明：要证明S =
　　则要证S =
　　=
　　= ab×sinC
　　此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
　　证四：恒等式
　　分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
　　恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
　　tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
　　证明：如图，tg = ①
　　tg = ②
　　tg = ③
　　根据恒等式，得：
　　+ + =
　　①②③代入，得：
　　∴r2(x+y+z) = xyz ④
　　如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
　　∴x = 同理：y = z =
　　代入 ④，得： r 2 · =
　　两边同乘以，得：
　　r 2 · =
　　两边开方，得： r · =
　　左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
　　证五：半角定理
　　半角定理：tg =
　　tg =
　　tg =
　　证明：根据tg = = ∴r = × y ①
　　同理r = × z ② r = × x ③
　　①×②×③,得： r3 = ×xyz
　　∵由证一，x = = －c = p－c
　　y = = －a = p－a
　　z = = －b = p－b
　　∴ r3 = ∴ r =
　　∴S△ABC = r·p = 故得证。
　　三、海伦公式的推广
　　由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=
　　现根据猜想进行证明。
　　证明：如图，延长DA，CB交于点E。
　　设EA = e EB = f
　　∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
　　∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
　　∴ = = =
　　解得： e = ① f = ②
　　由于S四边形ABCD = S△EAB
　　将①，②跟b = 代入公式变形④，得：
　　∴S四边形ABCD =
　　所以，海伦公式的推广得证。
　　四、海伦公式的推广的应用
　　海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
　　例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.
　　求：四边形可能为等腰梯形。
　　解：设BC = x
　　由海伦公式的推广，得：
　　(4－x)(2＋x)2 =27
　　x4－12x2－16x＋27 = 0
　　x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0
　　(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0
　　x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0
　　当x = 1时，AD = BC = 1
　　∴ 四边形可能为等腰梯形。

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