一、理论基础

1、算术优化算法

请参考这里。

2、MFAOA算法

（1）Sobol序列初始化

请参考这里和这里。

（2）数学优化器加速函数MOA的改进

在AOA中，数学优化加速函数MOA是协调全局搜索和局部开发的关键。AOA算法中，MOA是随着迭代次数从0.2线性递增到1，在搜索过程中难以拟合算法优化的实际情况，即在迭代前期MOA是从0.2开始线性递增，导致AOA算法不能探索更多的搜索空间，从而算法全局探索能力不足；在迭代后期MOA取值较大，导致算法局部开发受限，收敛速度慢。为解决这一问题，本文对MOA进行了重构，其数学模型如式(1)所示：MOA=(Max−Min)×(cos⁡(0.5π⋅tTmax⁡))+0.5Min(1)MOA=(Max-Min)\times\left(\cos\left(0.5\pi\cdot\frac{t}{T_{\max}}\right)\right)+0.5Min\tag{1}MOA=(Max−Min)×(cos(0.5π⋅Tmaxt))+0.5Min(1)其中，MinMinMin、MaxMaxMax分别是加速函数的最小值和最大值，取值与标准的AOA一样，ttt为当前迭代次数，Tmax⁡T_{\max}Tmax为最大迭代次数。
图1为原始MOA与改进后MOA的对比图。如图1所示，实线为标准AOA算法的MOA，虚线为改进的MOA。从图中可以看出，本文改进的MOA在算法迭代初期保持较大值，使算法充分地进行全局搜索；在迭代后期，MOA迅速下降到较小值，增加算法的局部开发概率，提高算法的收敛速度。

图1 MOA对比图

（3）混沌精英突变策略

本文考虑到混沌序列的随机性、遍历性和规律性的特点，对最优解进行混沌精英突变，具体实现过程如下：
1）按照式(2)将最优解位置向量逐维由解空间映射到[−1,1][-1,1][−1,1]区间，得到混沌变量ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)，其数学模型如式(2)所示：ϕ(t)=xbestj−xmin⁡jxmax⁡j−xmin⁡j(2)\phi(t)=\frac{x_{best}^j-x_{\min}^j}{x_{\max}^j-x_{\min}^j}\tag{2}ϕ(t)=xmaxj−xminjxbestj−xminj(2)其中，xmin⁡=min⁡(X)x_{\min}=\min(X)xmin=min(X)、xmax⁡=max⁡(X)x_{\max}=\max(X)xmax=max(X)。
2）利用式(3)对ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)进行Circle混沌迭代，得到混沌序列，其数学模型如式(3)所示：ϕ(t+1)=mod(ϕ(t)+0.2−(0.5/(2π)),1)(3)\phi(t+1)=\text{mod}(\phi(t)+0.2-(0.5/(2\pi)),1)\tag{3}ϕ(t+1)=mod(ϕ(t)+0.2−(0.5/(2π)),1)(3)3）利用混沌序列ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)对最优解进行精英突变，其数学模型如式(4)所示：x∗=λxbest+(1−λ)xbest⋅ϕ(t)(4)x^*=\lambda x_{\text{best}}+(1-\lambda)x_{\text{best}}\cdot \phi(t)\tag{4}x∗=λxbest+(1−λ)xbest⋅ϕ(t)(4)λ=1−tTmax⁡(5)\lambda=1-\frac{t}{T_{\max}}\tag{5}λ=1−Tmaxt(5)其中，λ\lambdaλ为收缩因子，其他变量同上。
4）将进化得到的变量x∗x^*x∗与最优解进行适应度值对比，如果进化后的个体适应度值小于最优解的适应度值，则表明精英个体进化成功，并更新当前最优个体位置。

（4）MFAOA实现步骤

综合上述改进方法，本文所改进的AOA(MFAOA)的流程图如图2所示。

图2 MFAOA算法流程图

二、实验仿真与结果分析

为充分验证本文MFAOA算法的有效性，将其与标准的算术优化算法(AOA)、正余弦优化算法(SCA)、黑猩猩优化算法(ChOA)、樽海鞘群优化算法(SSA)进行对比，所有算法的种群规模N=30N=30N=30，最大迭代次数Tmax⁡=500T_{\max}=500Tmax=500，测试函数维数30，以文献[1]中表1的F1、F3、F7、F9、F10、F11为例，5种算法均独立运行30次，结果显示如下：

函数：F1
AOA：Best: 1.9313e-169,Worst: 1.674e-38,Mean: 5.5803e-40,Std: 3.0564e-39
SCA：Best: 0.045736,Worst: 169.1657,Mean: 13.5648,Std: 31.0766
ChOA：Best: 6.2636e-11,Worst: 0.0001201,Mean: 9.1033e-06,Std: 2.3407e-05
SSA：Best: 2.6053e-08,Worst: 1.5913e-06,Mean: 2.1989e-07,Std: 2.9323e-07
MFAOA：Best: 0,Worst: 9.1425e-264,Mean: 3.0475e-265,Std: 0
函数：F3
AOA：Best: 6.4677e-118,Worst: 0.062442,Mean: 0.0075802,Std: 0.014146
SCA：Best: 277.8964,Worst: 24054.5296,Mean: 7688.7712,Std: 5082.5145
ChOA：Best: 0.15282,Worst: 2433.6676,Mean: 132.8302,Std: 444.3552
SSA：Best: 438.3957,Worst: 3468.9071,Mean: 1410.8796,Std: 793.7144
MFAOA：Best: 0,Worst: 4.0423e-151,Mean: 1.3474e-152,Std: 7.3802e-152
函数：F7
AOA：Best: 8.8818e-16,Worst: 8.8818e-16,Mean: 8.8818e-16,Std: 0
SCA：Best: 0.044356,Worst: 20.3666,Mean: 13.629,Std: 8.4585
ChOA：Best: 19.9604,Worst: 19.9642,Mean: 19.9629,Std: 0.00098108
SSA：Best: 1.5017,Worst: 3.8362,Mean: 2.4958,Std: 0.55596
MFAOA：Best: 8.8818e-16,Worst: 8.8818e-16,Mean: 8.8818e-16,Std: 0
函数：F9
AOA：Best: 0,Worst: 0,Mean: 0,Std: 0
SCA：Best: 0.00079358,Worst: 9.6848,Mean: 1.2028,Std: 2.1613
ChOA：Best: 2.7916e-05,Worst: 0.017593,Mean: 0.0024143,Std: 0.003212
SSA：Best: 1.1705,Worst: 7.4461,Mean: 3.6192,Std: 1.8283
MFAOA：Best: 0,Worst: 7.8657e-274,Mean: 2.6994e-275,Std: 0
函数：F10
AOA：Best: 0.00034483,Worst: 0.061137,Mean: 0.0094633,Std: 0.014304
SCA：Best: 0.00039994,Worst: 0.0015367,Mean: 0.0010442,Std: 0.00034446
ChOA：Best: 0.0012463,Worst: 0.0014186,Mean: 0.0012981,Std: 3.6875e-05
SSA：Best: 0.00039352,Worst: 0.020363,Mean: 0.0015385,Std: 0.0035704
MFAOA：Best: 0.0003459,Worst: 0.00037143,Mean: 0.00035823,Std: 6.5055e-06
函数：F11
AOA：Best: -8.636,Worst: -1.5393,Mean: -4.3478,Std: 1.6971
SCA：Best: -9.8419,Worst: -0.4965,Mean: -2.8031,Std: 2.6313
ChOA：Best: -4.9975,Worst: -0.49729,Mean: -1.9438,Std: 1.854
SSA：Best: -10.1532,Worst: -2.6305,Mean: -6.6408,Std: 3.454
MFAOA：Best: -10.1531,Worst: -2.6303,Mean: -8.2274,Std: 3.2741

结果表明本文改进的算法具有较好的寻优性能。

三、参考文献

[1] 兰周新, 何庆. 多策略融合算术优化算法及其工程优化[J]. 计算机应用研究, 2022, 39(3): 758-763.

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