背包问题-三种动态规划解法-逐步减少空间复杂度

题目描述：有编号分别为1,2,3,4,5的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

背包问题是典型的动态规划问题，也有一定的规律可循，通常采用自底向上的方式，先解决小问题，并存储，再解决大问题。

方法一：时间空间都为O(n^2)的解法，但可以得到最大价值情况下拿了哪些东西

这里dp[i][j]的含义是：在只有i个物品，最大容量为j时，能获得的最大价值

def bag(weight, value, max_W):N = len(weight)V = max_Wdp = [[0 for i in range(V+1)] for j in range(N+1)]for i in range(1,N+1):for j in range(1,V+1):if weight[i-1]<=j:dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1])else:dp[i][j] = dp[i-1][j]for i in range(N+1):print(dp[i][:])return dpdef thing(weight,value,max_W,dp): # 找出具体选了那些物品，这个可以参考第一个链接N = len(weight)V = max_Wthing_flag = [0 for i in range(N)]j = Vfor i in range(N,0,-1):if dp[i][j] != dp[i-1][j]:thing_flag[i-1]=1j -= weight[i-1]print(thing_flag)weight = [2,2,6,5,4]
value = [6,3,5,4,6]
max_W = 10
dp = bag(weight, value, max_W)
thing(weight,value,max_W,dp)

这个例子中对应的dp矩阵如下所示

可以通过从右下角向上回溯得到所有拿了的物品，见thing函数。

图片参考自：https://blog.csdn.net/superzzx0920/article/details/72178544

方法二：时间为O(n^2)，空间为O(2n)的解法

如果不需要求出具体选了哪些物品而只要最大价值，那在空间上还可以继续优化，因为我们求解dp[i]时，只用到了上一个子问题dp[i-1]，所以存储两个一维数组即可。

def bag(weight, value, max_W):N = len(weight)V = max_Wdp = [0 for i in range(V)]dp_next = [0 for i in range(V)]for i in range(N):for j in range(V):if weight[i]<=j:dp_next[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])dp = dp_next.copy()    #注意这里要用.copy()，因为不用就是浅复制print(dp_next)return dp

方法三：时间为O(n^2)，空间为O(n)的解法

再进一步思考，计算dp[i][j]时只使用了dp[i-1][0……j]，没有使用dp[i-1][j+1]这样的话，我们先计算 j 的循环时，让j=V……1，即反方向计算，只使用一个一维数组即可。

def bag(weight, value, max_W):N = len(weight)V = max_Wdp = [0 for i in range(V)]for i in range(N):for j in range(V-1,-1,-1):if weight[i]<=j:dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])print(dp)return dp

背包问题-三种动态规划解法-逐步减少空间复杂度相关推荐

快排三种基本解法以及两种快排优化
/* 快速排序基本思想选定每次排序的基准数据在剩下的位置将小于基准值的数据放在基准值得左边,大于基准值的数据放到基准值的右边一次划分之后如果此基准值的左右两边仍存在大于两个数 ...
（左神）数据结构与算法 ---- 判断链表是否为回文结构的三种高效解法
链表在数据结构与算法中可谓"北斗之尊",现在让我们通过判断链表回文的小练习进一步更深地了解链表~ 文章目录一.链表的节点结构二.判断一个链表是否为回文结构 (一)解法1:将链表 ...
算法-连续项的最大和问题（最大子数组问题）三种不同解法
连续项的最大和问题 (1)暴力求解时间复杂度 O(n^2) (2)分治求解时间复杂度 O(nlogn) (3) 线性求解时间复杂度 O(n) C#代码 using System; using S ...
隐马尔科夫模型，第三种问题解法，维比特算法（biterbi) algorithm python代码
上篇介绍了隐马尔科夫模型本文给出关于问题3解决方法,并给出一个例子的python代码回顾上文,问题3是什么, 下面给出,维比特算法(biterbi) algorithm 下面通过一个具体例子,来说 ...
0-1背包问题详解(DP分支限界回溯三种方法)
0-1背包将n个项目的权重和值,放入一个容量为W的背包中,得到背包中最大的总价值.换句话说,给定两个整数数组val[0..n - 1]和wt [0 . .n-1],分别表示与n个项目相关的值和权重. ...
背包问题动态规划解法
一:题目: 背包问题问题:两个数组一个重量数组W 一个价值数组 V 一个背包 bag ,返回不超过背包容量返回最大价值二:暴力解法思路:暴力遍历,思路就是递归的时候按选或者不选当前 ...
两数之和（JavaScript三种算法）
给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target,请你在该数组中找出和为目标值 target 的那两个整数,并返回它们的数组下标. 你可以假设每种输入只会对应一个答案.但是,数组中同一个 ...
c语言中二叉树中总结点,C语言二叉树的三种遍历方式的实现及原理
二叉树遍历分为三种:前序.中序.后序,其中序遍历最为重要.为啥叫这个名字?是根据根节点的顺序命名的. 比如上图正常的一个满节点,A:根节点.B:左节点.C:右节点,前序顺序是ABC(根节点排最先,然后 ...
搭上AI这趟车！用人工智能进行市场营销的三种方法
全文共1815字,预计学习时长5分钟图源:Google 随着人工智能的发展,没人想让自己的市场营销策略落后于人,尤其对于科技巨头和当代的初创企业来说.这就导致了一些令人费解的问题出现.其中一些问题包 ...

背包问题-三种动态规划解法-逐步减少空间复杂度

背包问题-三种动态规划解法-逐步减少空间复杂度相关推荐

最新文章

热门文章