多项式polynomial 考试 解题报告
多项式(polynomial)
题目大意:
给出一个 n 次多项式
f(x)=∑i=0naixif(x)=\sum_{i=0}^na_ix^if(x)=∑i=0naixi
对于k≤x≤k+l−1k ≤ x ≤ k + l − 1k≤x≤k+l−1 的lll 个xxx,分别求出f(x)f(x)f(x) 的值。由于答案可能会很大,你只需:输出f(x)mod10mf(x) \space mod \space 10^mf(x) mod 10m的结果。
第一行共四个整数n,k,l,mn, k, l,mn,k,l,m,中间用一个空格隔开,含义如题意所述。接下来n+1n+1n+1行,每行一个整数,依次给出了an,an−1,...,a0an, an−1, . . . , a0an,an−1,...,a0。
- 【算法要点】
- 高精度运算差分
- 【算法一】
- 有10%的数据,所有数字都在 10910^9109 以内,直接做就行了。
- 时间复杂度 O(nl)O(nl)O(nl),期望得分 101010 分。
- 【算法二】
- 由于答案是模 10m10^m10m 的,所以把所有数都模 10m10^m10m 答案不变。于是现在所有数字都在 101810^{18}1018 以内,直接做就行了。不过可能会遇到两个101810^{18}1018 以内的数相乘,如果不想写高精度就用快速乘算法。
- 时间复杂度 O(nllog2(1018))O(nl \log_2(10^{18}))O(nllog2(1018)),期望得分 303030 分。
- 【算法三】
- 写高精度,并压位。
- 时间复杂度 O(nl(mw)2)O(nl({m \over w})^2)O(nl(wm)2),其中 www 为压的位数。期望得分 606060 分。
- 【算法四】
- 把算法三中的高精度乘法用FFT等算法实现。
- 时间复杂度 O(nlmwlog2m)O(nl{m \over w} \log_2m)O(nlwmlog2m),常数超大,期望得分 60∼8060 \sim 8060∼80 分。
- 【算法五】(标准算法)
- 本题的关键是通过差分把乘法转化成加减法。
- 把 f(x)f(x)f(x) 差分,即令多项式 g(x)=f(x+1)−f(x)g(x) = f(x + 1) - f(x)g(x)=f(x+1)−f(x),得到的 g(x)g(x)g(x) 是一个 n−1n - 1n−1 次多项式,不妨定义其为 f(n−1)(x)f^{(n-1)}(x)f(n−1)(x) 。
- 同理,差分两次后得到一个 n−2n-2n−2 次多项式,设其为 f(n−2)(x)f^{(n-2)}(x)f(n−2)(x)
- ……
- 这样下去,差分 nnn次后就能得到一些常数。
- 令a[i][j]=f(i)(
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