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₪前言
₪求一个数的阶乘(递归实现)
₪求斐波那契数列的第n项
₪结言

₪前言

这一节，咱们把递归的最后两道题讲了，递归这个知识点的内容就全部完成了，好了，废话不多说，咱们直接进入正题了！

₪求一个数的阶乘(递归实现)

这道题熟悉吧，在循环结构的文章里面的练习题讲过的。不过这次咱们要用递归来实现。那么怎么实现呢？

这里再介绍一下递归的执行过程:递归氛围分为两个执行过:回推和递推。
1.回推：回推就是根据要解决复杂的问题去找到类似于大复杂问题，简单问题最基本的解。这个过程需要系统内存的栈存储临时变量的值；
2.递推：递推就是根据找到简单问题的解去得到复杂问题的解，这个过程是逐步释放之前栈空间所保存的变量，直到得到复杂问题的解。

那么这个问题的回推过程是什么呢？看例子吧：

根据数学知识，一个数的阶乘是上一个数的阶乘与这个数字本身相乘。如3!(这里的感叹号是数学里面的阶乘符号，不是逻辑非)为3!=3*2!

那么我们要求n的阶乘也就是如下：

n!=n * (n-1)
(n-1)!=(n-1) * (n-2)!
(n-2)!=(n-2) * (n-3)!
…
2!=2 * 1!
1!=1* 0!;
0! = 1 (0是最小的阶乘数，规定值为1)

从上述例子可以看出，如果想要知道n的阶乘，那么就必须要先知道(n-1)! * n,想要知道(n-1)!就必须先要知道，(n-2)! * n(n-1)。这个过程也就是函数自己调用自己的过程，以此类推，直到我们回推到知道的最基本知识点0!=1，就可以开始递推了。

递推：
回推到我们知道的0!=1；

0!=1;
1!=1 * 1 （1!=1 * 0!）
2!=2 * 1. (2!=2 * 1!)
3!=3 * 2 (3!=3 * 2！)
…
n!=n*(n-1)!

根据0!=1这个已知的基本条件，得到1!,2!,3!..最终得到n!

另外再说一点，n是可能是负数的，因为最小的阶乘是0！。所以写代码时注意罗列分支。

有了以上知识，我们就知道代码怎么写了。

code:

#include<stdio.h>
int fac(int k)
{if(k<0){return -1;  //没有负数的阶乘}if(0==k){return 1;   //0的阶乘为1}else{return k*fac(k-1);}
}
int main()
{int n;scanf("%d",&n);int t=fac(n);if(t<0){printf("参数错误!没有负数的阶乘!\n");}else{printf("%d!=%d",n,fac(n));}return 0;
}

测试结果:

₪求斐波那契数列的第n项

这道题和上一道题很类似，根据数学知识可以知道基本条件，斐波那契数列的前两项都为1，且从第3项开始，每项是前两项的和。

如：

2=1+1
3=2+1
5=2+3
…
n=(n-2)+(n-1)

可以看出,每一项都是前两项之和。那么我们就可以根据这个规律和一个已知的基本条件前两项是1，来进行回推和递推了。

回推：
n=(n-1)+(n-2)
(n-1)=(n-3)+(n-2)
(n-2)=(n-4)+(n-3)
…
这里我们画一个图来更容易理解；
这里假设n为50

我们可看到，1个数去回推另两个数来求和，还有就是44这个数被重复计算了很多次。这还只是第4次回推，要一直推到1，也就是2的49次方，那这些数据要被重复计算多少次？这是否会导致我们的效率低。

递推：
递推就是一直回推到那个已知条件前两项为1，就可以开始求第3项的(1+1=2),第4项(2+1=3)以此类推到n。也就是上图的倒过来开始求项。

有了以上知识，就可以写出代码了

code:

#include<stdio.h>
int Fib(int k)
{if(k>2)     //不是前两项，从第3项开始{return Fib(k-1)+Fib(k-2);}else if(k>=1){return 1;   //前两项是1}
}
int main()
{int n;scanf("%d",&n);printf("第%d项=%d",n,Fib(n));return 0;
}

测试结果：

但是递归用到这种需要大量重复计算的题上效率太低了。如果要求的项大了计算机是需要很久才算得出来的，我们来测试求第40项一下第3项2被重复计算了多少次

code

#include<stdio.h>
int count=0;        //定义全局变量来增大生命周期，保证count在整个项目中有效
int Fib(int k)
{if(k==3){count++;}if(k>2)     //不是前两项，从第3项开始{return Fib(k-1)+Fib(k-2);}else if(k>=1){return 1;   //前两项是1}
}
int main()
{int n;scanf("%d",&n);printf("第%d项=%d\n",n,Fib(n));printf("count=%d",count);return 0;
}

测试结果:

三千多万次！可见这个时间复杂度有多差，效率高低一看便知。

那么咱们这道题能不能换个写法？能！斐波那契数列反正是的第n项反正是前两项的和嘛。咱们从前往后加不就完了，这样就可以避免多次重复计算一个数字，不用像递归一样去找前n个数回来计算又重新算那个数。

循环来写的主要关键就是从前往后面算的时候，先把第n个数用(n-1)+(n-2)算出来，然后要求第n+1个数的时候把n-1改为n-2,n-2又改为n.可能有点看不懂，没关系咱们看图。

这是求第3项

求第4项

还有注意，每次循环就算出来一个数，那么就离n更近了一步最后求n只需算到n-1即可与n-2相加得到n,有了以上知识就可以敲代码了:

code:

#include<stdio.h>
long long Fib(int k)        //这里测试第50项，防止整形溢出所以设为long long 类型
{long long a=1,b=1,c=1;        //已经知道前两项，c设1应付当n<-2时也就是求前两项为1，所以设为1while(k>2){c=a+b;a=b;b=c;k--;}return c;}
int main()
{int n;scanf("%d",&n);printf("第%d项=%lld\n",n,Fib(n));return 0;
}

运行结果:

这时候得出结果就很快了，因为计算机不需要大量重复计算了。

₪结言

好了，函数递归这一章节的内容到此结束，希望你有收获，期待下一章节的数组吧！

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