不完整信息系统----容差关系 tolerance relation

在M. Kryszkiewicz提出的容差关系中，关键是要为不完整信息表的所有缺失属性值分配“空”值。“空”值可以是不完整信息表中的任何实际值，丢失的属性值只是“丢失”，但确实存在。换句话说，我们不完善的知识使我们不得不处理部分信息表。每个对象都有一个完整的描述，但是我们暂时错过了一些信息。

假设给定一个完整信息系统配备决策S={U，A，V，f}，其中A=CU{d}，C是条件属性，d是决策属性，f：U×A→V，对于任意a∈A，其中V_a被称为属性a的域。在不完备信息系统S^*={U，A，V_*，f}，对于任意子集B⊆C，TR T定义如下：
定义1： 在不完备信息系统S^*={U，A，V_*，f}，

∀x,y∈U, T(x,y)<=> ∀C_j∈B(c_j(x)=c_j(y)∨c_j(x)=*∨c_j(y)=*)。

因此，T = {(x,y)|x∈U∧y∈U∧∀c_j（c_j∈B）→ (c_j(x)=c_j(y)∨c_j(x)=*∨c_j(y)=*)}
显然，T是自反性和对称性的，但不是传递性的。从定义1中，我们将容差类的概念描述如下：
定义2： 在不完备信息系统S^*={U，A，V_*，f}。一个对象x关于属性集B的容差类I_B^T(x)被定义为：

I_B^T(x)={y|y∈U∧T_B（x,y）}

根据定义2，我们描述容差类的上下近似的概念如下：
定义3： 令S^*={U，A，V_*，f}为不完整信息系统。一个对象集X关于属性集B的下近似x_B^T,上近似x_T^B能够被定义为：

示例1: 表1是一个不完整信息系统，

其中α₁，α₂，α₃，…，α₁₂是对象。c₁，c₂，c₃，c₄是条件属性，他们的值域为{0,1,2,3}。d是一个决策属性，其中他的值域为{β，Ω}，β={α₁，α₂，α₄，α₇，α₁₀，α₁₂}，Ω={α₃，α₁，α₅，α₆，α₈，α₉，α₁₁}。

从表1中，我们可以使用定义1中的TR对其进行分析，从而轻松获得结果，如下所示：

根据先前的分析，无法对一些可以直观识别的对象进行分类，例如a1具有完整的信息，但是α ₁不在β的下近似中。原因是α₁₁的缺失属性值被认为与α ₁类似。

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