参考资料：

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@云时之间的文章数字图像处理:直方图均衡化

@不用先生的文章【图像处理】直方图均衡化(附带Matlab及OpenCV3自编程实现代码)

@只(挚)爱图像处理的文章限制对比度自适应直方图均衡化算法原理、实现及效果

@xiaoluo91 的文章对比度受限的自适应直方图均衡化(CLAHE)

文章目录

经典直方图均衡化（HE）
- 概述
- 步骤
- 公式推导
- Matlab 代码实现
自适应直方图均衡化（AHE）
- 限制对比度直方图均衡（CLAHE）

经典直方图均衡化（HE）

概述

直方图均衡化（Histogram Equalization）又称直方图平坦化，实质上是对图像进行非线性拉伸，重新分配图像象元值，使一定灰度范围内象元值的数量大致相等。这样，原来直方图中间的峰顶部分对比度得到增强，而两侧的谷底部分对比度降低，输出图像的直方图是一个较平的分段直方图，如果输出数据分段值较小的话，会产生粗略分类的视觉效果。
根据香农定理关于信息熵的定义：

H(X)=−∑p(xi)log⁡(p(xi))(i=1,2,⁣⋯,n)H(X)=-\sum p(x_i)\log(p(x_i))\quad (i=1,2,\dotsi,n)H(X)=−∑p(xi)log(p(xi))(i=1,2,⋯,n)
对于一副图像而言，当每一个灰度值分布更均衡，图像所包含的信息量是越大的；相反，仅仅只有一个灰度值的时候，信息量很少。这个是我们能够想来的比如：纯黑图像包含信息量很少，而其他图像我们可能会看到一些人物、景物。
就效果而言，直方图均衡化使得图像信息量变大，但是不可能会发生较小的灰度值在经过均衡化后变得比原来较大的灰度值更大。这也就意味着，我们通过均衡化后的图所观察到的景物应当与原来图像所观察到的一致，只是颜色层次更清晰，更加具有辨识度。
缺点
- 增强后图像的灰度级会变少，部分细节会消失。(概率相似的几个灰度级均衡化后可能会归为同一灰度级)
- 当输入图像的直方图有非常密集的部分时，增强后的图像的对比度会增强过度。

步骤

假设有一幅图像，共有64×64个像素，8个灰度级，各灰度级概率分布见下表，试将其直方图均匀化。

确定图像的灰度级
在实际情况下，如果我们的图像是彩色，需要将其转换为灰度图像，其中的灰度级一般是0-255，这里的灰度级只取8级。
计算原始直方图的概率
统计每一个灰度在原始图像上的像素所占总体的比例，记为Pi
计算直方图概率的累加值S(i)
直到最后一个灰度级，总和为 1

由公式：
Sk=T(rk)=∑j−0kPr(rj)=∑j−0knjNS_k=T(r_k)=\displaystyle\sum^k_{j-0} P_r(r_j)=\displaystyle\sum^k_{j-0} \cfrac{n_j}NSk=T(rk)=j−0∑kPr(rj)=j−0∑kNnj

可以得到：
S0=T(r0)=∑j−0kPr(rj)=0.19S_0=T(r_0)=\displaystyle\sum^k_{j-0} P_r(r_j)=0.19S0=T(r0)=j−0∑kPr(rj)=0.19
S1=T(r1)=∑j−01Pr(rj)=Pr(r0)+Pr(r1)=0.19+0.25=0.44S_1=T(r_1)=\displaystyle\sum^1_{j-0} P_r(r_j)=P_r(r_0)+P_r(r_1)=0.19+0.25=0.44S1=T(r1)=j−0∑1Pr(rj)=Pr(r0)+Pr(r1)=0.19+0.25=0.44
根据公式求取像素映射关系

SS(i)=int(max(pix)−min(pix))∗S(i)+0.5SS(i)=int(max(pix)-min(pix))*S(i)+0.5SS(i)=int(max(pix)−min(pix))∗S(i)+0.5

这里的pix是指的灰度级，(最大灰度级−最小灰度级)∗累加概率+0.5后取整数(最大灰度级-最小灰度级)*累加概率+0.5后取整数(最大灰度级−最小灰度级)∗累加概率+0.5后取整数
灰度映射

找到了原图像和均衡化图像灰度的对应关系，对原图进行操作，将每个像素映射成新的像素
此时图像均衡化已经完成

公式推导

现假定原图的 直方图-灰度值 关系为 f(x)f(x)f(x)，则累积灰度直方图应当是 F(x)F(x)F(x)，经过均衡化后的 直方图-灰度值 关系为 f(y)f(y)f(y)，其累积灰度直方图应当是 F(y)F(y)F(y)。原灰度值 xxx 与后灰度值 yyy 之间存在某种映射关系：y=T(x)y=T(x)y=T(x)。

F(y)=P(Y⩽y)=P[T(X)⩽y]=P[X<1T(y)]=F(x)∣x=1T(y)\LARGE{F(y)=P(Y\leqslant y)=P[T(X)\leqslant y]=P\Bigg[X<\cfrac{1}{T(y)}\Bigg]=F(x)\vert_{x=\frac1{T(y)}}}F(y)=P(Y⩽y)=P[T(X)⩽y]=P[X<T(y)1]=F(x)∣x=T(y)1
F(y)=F[1T(y)]\LARGE{F(y)=F[\frac1{T(y)}]}F(y)=F[T(y)1]
方程两边对 yyy 求导：

f(y)=f[1T(y)]⋅[1T(y)]\LARGE{f(y)=f[\frac1{T(y)}]\cdotp [\frac1{T(y)}]}f(y)=f[T(y)1]⋅[T(y)1]

f(y)=f[1T(y)]⋅1d[T(x)]\LARGE{f(y)=f[\frac1{T(y)}]\cdotp \frac1{d[T(x)]}}f(y)=f[T(y)1]⋅d[T(x)]1

f(y)=f[1T(y)]⋅dxdy\LARGE{f(y)=f[\frac1{T(y)}]\cdotp \frac{dx}{dy}}f(y)=f[T(y)1]⋅dydx
由于有：

f(y)=1L−1\LARGE{f(y)=\frac{1}{L-1}}f(y)=L−11
可得：

1L−1=f(x)⋅dxdy\LARGE{\frac{1}{L-1}=f(x)\cdotp \frac{dx}{dy}}L−11=f(x)⋅dydx

1L−1⋅dy=f(x)⋅dx\LARGE{\frac{1}{L-1}\cdotp dy=f(x)\cdotp dx}L−11⋅dy=f(x)⋅dx
方程两边积分：

1L−1⋅y=∫0xf(x)dx\LARGE{\frac{1}{L-1}\cdotp y=\int^x_0f(x)dx}L−11⋅y=∫0xf(x)dx

y=(L−1)∫0xf(x)dx\LARGE{y=(L-1)\int^x_0f(x)dx}y=(L−1)∫0xf(x)dx

即

T(x)=(L−1)⋅∫0xf(x)dx\LARGE{T(x)=(L-1)\cdotp \int^x_0f(x)dx}T(x)=(L−1)⋅∫0xf(x)dx
对于离散值而言：

T(x)=(L−1)MN⋅∫0xf(x)dx\LARGE{T(x)=\frac{(L-1)}{MN}\cdotp \int^x_0f(x)dx}T(x)=MN(L−1)⋅∫0xf(x)dx

Matlab 代码实现

直观代码

function strenImg = histogramEqualization(sImg)
% 直方图均衡化[R, C] = size(sImg);% 统计每个像素值出现次数
count = zeros(1, 256);
for i = 1 : Rfor j = 1 : Ccount(1, sImg(i, j) + 1) = count(1, sImg(i, j) + 1) + 1;end
end% 编写T函数
T = zeros(1, 256);
T = double(T);
count = double(count);% 统计每个像素值出现的概率，得到概率直方图
for i = 1 : 256T(1, i) = count(1, i) / (R * C);
end% 求累计概率，得到累计直方图
for i = 2 : 256T(1, i) = T(1, i - 1) + T(1, i);
end% 完善T函数的定义
for i = 1 : 256T(1, i) = T(1, i) * 255;
end% 完成每个像素点的映射
strenImg = double(sImg);
for i = 1 : Rfor j = 1 : CstrenImg(i, j) = T(1, strenImg(i, j) + 1);end
end% 输出仍然要记得改数据类型
strenImg = uint8(strenImg);
end

向量化代码

function strenImg = histogramEqualization(sImg)
% 直方图均衡化[m, n] = size(sImg);
pro = zeros(1, 256);
sum = zeros(1, 256);% 统计每个像素出现次数
for i = 1 : mfor j = 1 : npro(sImg(i, j) + 1) = pro(sImg(i, j) + 1) + 1;      end
endsum(1) = pro(1);% 累计直方图
for g = 2: 256sum(g) = pro(g) + sum(g - 1);
endnewim = zeros(m, n);
% 像素总和
pixSum = m * n;
% 概率分布函数
sum = sum.* 255 / pixSum;for i = 1 : mfor j = 1 : nnewim(i, j) = uint8(sum(sImg(i, j) + 1));if newim(i, j) > 255newim(i, j) = 255;  % 重新分布灰度值endend
endstrenImg = uint8(newim);
end

自适应直方图均衡化（AHE）

自适应直方图均衡化 (Adaptive histgram equalization / AHE)
简述
- 和普通的直方图均衡算法不同，AHE 算法通过计算图像的局部直方图，然后重新分布亮度来来改变图像对比度。因此，该算法更适合于改进图像的局部对比度以及获得更多的图像细节。
- 不过，AHE 有过度放大图像中相同区域的噪音的问题，限制对比度直方图均衡（CLAHE）算法能有限的限制这种不利的放大。
算法的解释
- 普通的直方图均衡算法对于整幅图像的像素使用相同的直方图变换，对于那些像素值分布比较均衡的图像来说，算法的效果很好。如果图像中包括明显比图像其它区域暗或者亮的部分，在这些部分的对比度将得不到有效的增强。
- AHE 算法通过对局部区域执行响应的直方图均衡来改变上述问题。该算法首先被开发出来适用于改进航天器驾驶舱的显示效果。其最简单的形式，就是每个像素通过其周边一个矩形范围内的像素的直方图进行均衡化。均衡的方式则完全同普通的均衡化算法：变换函数同像素周边的累积直方图函数（CDF）成比例。
- 图像边缘的像素需要特殊处理，因为边缘像素的领域不完全在图像内部。这个通过镜像图像边缘的行像素或列像素来解决。直接复制边缘的像素进行扩充是不合适的，因为这会导致带有剑锋的领域直方图。
AHE的属性
- 领域的大小是该方法的一个参数。领域小，对比度得到增强，领域大，则对比度降低。
- 当某个区域包含的像素值非常相似，其直方图就会尖状化，此时直方图的变换函数会将一个很窄范围内的像素映射到整个像素范围，这将使得某些平坦区域中的少量噪音经AHE处理后过度放大。

限制对比度直方图均衡（CLAHE）

限制对比度就相当于限制直方图的幅度。
因此我们需要对子块中统计得到的直方图进行裁剪，使其幅值低于某个上限，当然裁剪掉的部分又不能扔掉，我们还需要将这部分裁剪值均匀地分布在整个灰度区间上，以保证直方图总面积不变，如下图：
可以看到，这时直方图又会整体上升了一个高度，会超过我们设置的上限。
其实在具体实现的时候有很多解决方法，可以多重复几次裁剪过程，使得上升的部分变得微不足道，或是用另一种常用的方法：
- 设裁剪值为ClipLimit，求直方图中高于该值的部分的和totalExcess，此时假设将totalExcess均分给所有灰度级，求出这样导致的直方图整体上升的高度L=totalExcess/N，以upper=ClipLimit-L为界限对直方图进行如下处理：
1. 若幅值高于ClipLimit，直接置为ClipLimit
2. 若幅值处于Upper和ClipLimit之间，将其填补至ClipLimit
3. 若幅值低于Upper，直接填补L个像素点
- 经过上述操作，用来填补的像素点个数通常会略小于totalExcess，也就是还有一些剩余的像素点没分出去，这个剩余来自于 1. 2. 两处。这时我们可以再把这些点均匀地分给那些目前幅值仍然小于ClipLimit的灰度值。
将图像进行分块处理，若每块中的像素点仅通过该块中的映射函数进行变换，则会导致最终图像呈块状效应。
为了解决这个问题，我们需要利用插值运算，也就是每个像素点出的值由它周围4个子块的映射函数值进行双线性插值得到，如下图：
上图中，为了求蓝色像素点处的值，需要利用它周围四个子块的映射函数分别做变换得到四个映射值，再对这四个值做双线性插值即可。
对于边界处的像素点则不是通过四个子块进行插值，如上图红色像素点直接以一个子块的映射函数做变换，绿色像素则以两个子块做映射函数做线性插值。这里讲的边界处像素是指落在图像左上角，左下角、右上角，右下角的四个子块中心像素点围成的四边形之外的像素。如下图，将图像分为8x8子块，边界像素即落在灰色区域的像素点。

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