01笔记 数字逻辑基础——逻辑代数基础——基于《数字逻辑基础》陈光梦（第三版）
一些概念
集成电路分类
①模拟集成电路，处理连续信号
②数字集成电路，处理离散信号
数字集成电路分类
逻辑集成电路 储存器 ASIC（Application Specific IC)
特点
信号表示形式统一、便于计算机处理
可靠性高
工艺成熟、可大规模集成
集成度
SSI 1-10门，逻辑门电路
MSI 10-100门，计数器、移位寄存器
LSI 1000-1000门 小型储存器，八位算术逻辑单元
VLSI 1000-1w门 大型储存器、微处理器
ULSI 超过100w门 编程逻辑器件、多功能集成电路
摩尔定律
集成度18月翻一番
后续相关课程
计算机组成和实践 嵌入式系统 DSP
CPU内部结构
ALU
寄存器 （通用寄存、地址寄存，状态寄存
译码器（指令
计数器（程序
时序发生器
内存
课程内容
数字逻辑基本理论：逻辑代数
无记忆逻辑电路：组合逻辑电路
有记忆逻辑电器：触发器、时序逻辑电路（同步、异步
可编程逻辑器FPGA和硬件描述语言verilog HDL
1.1 逻辑代数概述
二值逻辑：条件、结论只取对立两值，是非、对错、真假
逻辑代数中，1代表真，0代表假
1与0是逻辑概念，只代表真假、无大小
数字逻辑中1和0表示二进制数，仅为一种代码，实际运算还是靠逻辑运行
逻辑函数
用一个数学表达式描述逻辑关系问题
Y = f ( A , B ) Y = f(A,B) Y=f(A,B)
表示方法
真值表
逻辑函数
逻辑图
卡诺图
硬件描述语言（HDL
逻辑运算
与
Y = A ⋅ B Y = A\cdot B Y=A⋅B
或
Y = A + B Y = A+ B Y=A+B
非
Y = A ‾ Y = \overline{A} Y=A
反函数
逻辑函数互为反函数，对输入变量任意取值，输出逻辑值相反
F和G互为反函数
复合逻辑运算
与非
先对AB进行与运算再进行非运算
Y = A ⋅ B ‾ Y = \overline{A\cdot B} Y=A⋅B
或非
先对AB进行或运算再进行非运算
Y = A + B ‾ Y = \overline{A+ B} Y=A+B
异或
Y = A ⊕ B Y = A x o r B Y=A\oplus B\quad Y = A xor B Y=A⊕BY=AxorB
同或 Y = A ⊙ B Y = A \odot B Y=A⊙B
逻辑图：基本逻辑单元
逻辑图符号标准规定
所有逻辑符号由方框、标注在方框内总限定符号组成
组合形式逻辑图
利用国标图形可以讲线路省去，直接拼凑
1.2逻辑代数基本定理
一、零一律
A ⋅ 1 = A A + 0 = A A ⋅ 0 = 0 A + 1 = 1 A\cdot1=A\qquad A+0=A\\ A\cdot0=0\qquad A+1=1 A⋅1=AA+0=AA⋅0=0A+1=1
二、等幂律
A ⋅ A = A A + A = A A\cdot A = A\qquad A+A = A A⋅A=AA+A=A
三、互补律
A ⋅ A ‾ = 0 A + A ‾ = 1 A\cdot \overline{A }= 0\qquad A+\overline{A } =1 A⋅A=0A+A=1
四、自反律
A ‾ ‾ = A \overline{\overline{A}} =A A=A
五、交换律
A B = B A A + B = B + A AB=BA \qquad A+B = B + A AB=BAA+B=B+A
六、结合律
A ( B C ) = ( A B ) C A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A(BC)=(AB)C\\ A+(B+C)=(A+B)+C A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C
七、分配律
A ( B + C ) = A B + A C A + B C = ( A + B ) ( A + C ) A(B+C)=AB+AC \\A+BC = (A+B)(A+C) A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)
八、反演律
A B ‾ = A ‾ + B ‾ A + B ‾ = A ‾ ⋅ B ‾ \overline{AB} = \overline{A}+\overline{B} \qquad \overline{A+B} = \overline{A}\cdot\overline{B} AB=A+BA+B=A⋅B
九、代入定理
任何逻辑等式中，其中一个逻辑变量全部用另一个逻辑函数代替
十、反演定律
对一个逻辑函数式子：
①所有逻辑符号·和+交换
②所有逻辑常量 1 0 互换
③所有逻辑变量取反
④不改变运算顺序
得到逻辑函数是原来的反函数（例子：德摩根定理
Y = A ( B ‾ + C ) + C D Y ‾ = ( A ‾ + B C ‾ ) ( C ‾ + D ‾ ) Y = A(\overline{B}+C)+CD\\ \overline{Y}=(\overline{A}+B\overline{C})(\overline{C}+\overline{D}) Y=A(B+C)+CDY=(A+BC)(C+D)
十一、对偶关系
逻辑符号+和·
逻辑常量1和0
①所有逻辑符号+和·互换
②逻辑常量1和0互换
若两个函数相等，他们的对偶式形成的两个函数也相等
若 ( A + D ) C ‾ = A C ‾ + C ‾ D + 0 则 A D + C ‾ = ( A + C ‾ ) ( C ‾ + D ) ⋅ 1 若\qquad(A+D)\overline{C}=A\overline{C}+\overline{C}D+0\\ 则\qquad AD+\overline{C}=(A+\overline{C})(\overline{C}+D)\cdot1 若(A+D)C=AC+CD+0则AD+C=(A+C)(C+D)⋅1
常用逻辑恒等式
一、吸收率
① A + A B = A ② A ( A + B ) = A ③ A + A ‾ B = A + B ④ A ( A ‾ + B ) = A B ⑤ A ⋅ A B ‾ = A B ‾ ⑥ A + A + B ‾ = A + B ‾ ⑦ A B + A ‾ B = B ⑧ ( A + B ) ( A ‾ + B ) = B ①\quad A+AB = A\\②\quad A(A+B)=A\\ ③\quad A+\overline{A}B = A+B\\④\quad A(\overline{A}+B)=AB\\⑤\quad A\cdot \overline{AB} = A\overline{B}\\ ⑥ \quad A+\overline{A+B} = A+\overline{B}\\⑦\quad AB+\overline{A}B = B\\⑧\quad (A+B)(\overline{A}+B)=B ①A+AB=A②A(A+B)=A③A+AB=A+B④A(A+B)=AB⑤A⋅AB=AB⑥A+A+B=A+B⑦AB+AB=B⑧(A+B)(A+B)=B
二、冗余律
① A B + A ‾ C + B C = A B + A ‾ C ② ( A + B ) ( A ‾ + C ) ( B + C ) = ( A + B ) ( A ‾ + C ) ③ A B + A ‾ C + B C D = A B + A ‾ C ④ ( A + B ) ( A ‾ + C ) ( B + C + D ) = ( A + B ) ( A ‾ + C ) ①\quad AB+\overline{A}C +BC = AB+\overline{A}C \\②\quad (A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A+B)(\overline{A} + C)\\ ③\quad AB+\overline{A}C+ BCD = AB+\overline{A}C\\④\quad (A+B)(\overline{A}+C)(B+C+D)=(A+B)(\overline{A}+C) ①AB+AC+BC=AB+AC②(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)③AB+AC+BCD=AB+AC④(A+B)(A+C)(B+C+D)=(A+B)(A+C)
1.3逻辑函数的化简和形式转换
异或的不同表达形式：
与或形识
A ‾ B + A B ‾ \overline{A}B+A\overline{B} AB+AB
与非—与非形式
A ‾ B ‾ ⋅ A B ‾ ‾ ‾ \overline {\overline{\overline{A}B} \cdot \overline{A\overline{B}}} AB⋅AB
与或 和 与非—与非形式可以相互转换
或与形式
( A ‾ + B ‾ ) ( A + B ) (\overline{A}+\overline{B})(A+B) (A+B)(A+B)
或非—或非形式
A ‾ + B ‾ ‾ + A + B ‾ ‾ \overline{ \overline{\overline{A}+\overline{B}} +\overline{A+B} } A+B+A+B
与或非形式
A B + A ‾ ⋅ B ‾ ‾ \overline{AB+\overline{A}\cdot\overline{B}} AB+A⋅B
混合形式
A B ‾ ( A + B ) \overline{AB}(A+B) AB(A+B)
后四种情况相互转换
目标函数要求：
逻辑电路数量少（面积约束
逻辑电路级数最少（速度约束
输入端数量最少（混合约束
电路为拟定（避免竞争、冒险
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