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杂谈

分类： 文献研究

小学数学教材整体把握的策略研究

作者：内详

摘  要：数学知识具有系统性，小学数学教材内容也是一个系统的整体。小学数学教学就是在教师系统整体把握数学知识体系的基础上，开展师生共同的数学活动，促进学生主动、整体地建构意义，完善认知结构的过程。作为数学教师要树立整体的教材观，吃透教材编写者的意图，把握数学知识的内涵，在数学知识的连接点上设计教学活动，以使“三维目标”在学生主动全面的意义建构中整体达成。

关键词：小学数学  教材  整体把握   策略

备课是上课的前提，备好课是上好课的必要条件。备课过程中教师要认真钻研教材、了解学情、书写教案。在这个过程中，钻研教材是重要的起始环节。笔者曾对30位数学教师钻研教材、分析学情和书写教案的时间分配上进行了调查。结果发现，教师们20％的精力用于钻研教材、了解学情，80％的精力用于书写教案。这表明教师在钻研教材、分析学情与书写教案的时间上存在着严重的时间倒挂。教师们习惯于书写教案，不善于深入钻研教材，对教材的整体把握没有引起足够的重视，为什么会产生这样的现象呢？究其根源，主要有三方面的原因：（1）教师自身的数学知识缺乏系统性。由于小学教师的数学学科知识背景不够深厚，对小学数学知识点之间的内在联系缺乏整体思考的知识基础。同时，新教材拓展的新领域如统计与概率的数学知识对小学教师而言是知识的盲点。（2）教师习惯于备知识点。小学数学教师在长期教算术的环境中，习惯了一种细分类型，就好比从河的此岸铺垫一块又一块石块，引导学生到达河的彼岸的教法，缺少一种用较高的观点来处理教材和驾驭教材的能力。教师习惯于对教材上呈现的静态知识的占有，不善于从历史的纵向维度和学科的横向维度去思考钻研。（3）备课管理的条块分割。目前，对教师备课的管理最常用、最基本的方式是由业务负责人定期检查教师。检查的形式要么是翻阅备课本，看看字迹是否工整、数量是否足、有没有超前备课等等；要么是进行教案评比中的展览。所有这些做法都孤立地围绕备课本身，使教案成为能看能用的展示品，削弱了备课为教学服务的功能。

笔者认为，要改变上述现象，除了教育管理者要不断转变管理职能，正确发挥管理的引导作用，最重要的是教师要树立正确的数学观，教学观和教材观，掌握钻研教材的一般的策略，做到真正整体把握教材。提倡在备课上教师的精力划分应将上述的20％与80％互换，在备课总量不变的前提下，教师应将80％的精力用于钻研教材、了解学情，剩下的20％用来落实教案，使得备课真正为上课服务，使备课真正为课堂教学服务，使数学知识联系成一个整体，形成强有力的数学思想，完善学生的认知结构。

一、为什么要整体把握数学教材

首先，数学知识是一个系统整体。要说明这个问题首先要考虑数学的本质是什么，或者说 “什么是数学”？就世界范畴而言，有两种说法，即 “数学是演绎的科学” （古希腊为代表）与 “数学是量的科学” （中国古代、印度古代为代表），前者重视几何，后者重视算术与代数。而康托在1883年则提出 “数学的本质在于自由” 的著名论述。从这个意义上看，在课程标准的总体目标中提出的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）是否可以简单的这样表述：数学知识是 “数与形以及演绎” 的知识。由此可以看出，作为数学学习目标之一的数学知识它应该是一个完整的整体，是“数与形以及演绎”的知识整体，整体的知识一定是结构的，是互相联系的。结构的知识一定是要系统整体学习才能掌握，只有系统整体的掌握才可能使得学生在学习知识的过程中发展智能。

其次，数学学习是整体的认知过程

既然数学知识是一个系统的整体，那么数学教学应强调整体联系，以培养学生对数学联系的理解。当学生开始把数学看成一个紧密联系的整体时，他们应被鼓励寻找联系以帮助他们理解和解决问题。学生应问自己：“我可以换一种方式看这个问题吗?”“这个情景与我以前遇到的类似吗?”。如果遇到的是用代数表示的，他们应考虑用几何表示它，这样可以加深理解或有助于他们找到解决策略。当年，笛卡尔就是这样开创了《解析几何》，使得几何和代数形成了一个整体，也使得几何学习和代数学习结合在一起，也就产生了小学阶段数形结合的思想。同时，数学学习不是单纯的知识的接受，而是以学生为主体的数学活动。现代认知科学，尤其是建构主义学习理论强调，“知识是不能被传递的，教师在课堂上传递的只是信息，知识必须通过学生主动建构才能获得”。学习就是一个不断打破原有的认知结构平衡发生同化或顺应组建新的认知结构达到新的平衡的过程。学生的数学学习也可以看成是数学知识结构转化成学生认知结构的过程。

再次，数学教材内容和数学教学应该是系统整体的

数学教材是根据《教学大纲》以及《数学课程标准》所规定的知识内容和要求来编写成的，它反映出党和国家对于学生学习该学科知识时所要求的深度和广度。教材的内容是教师进行教学的依据，也是学生学习的主要材料。既然数学和数学知识是一个整体，数学学习也是整体的，那么对于教材的编写和把握也应该是整体的，联系的。教材中的每一个例题就像一个神经细胞，当神经细胞串连考虑周到来时就能发挥出强大的功能。数学教材中的各个例题之间存在着相辅相成的关系，它们的互相融合成就了一种数学思想，同时结合教材内容蕴涵人文内涵。教师要把握例题之间本质的联系，站在一个较高的层次上用现代数学的观念去审视和处理教材，向学生传递一个完整的数学思想，帮助学生建立一个融会贯通的数学认知结构。如果把知识切割成一块又一块，各说各的，碰到这道题这样做，碰到那道题那样做，没碰到过的就不会做，就容易使学生陷入背数学的一种痛苦的环境中。所以说教师整体把握教材、驾驭教材对教学有着至关重要的影响。

基于上面的分析，我们可以看出：整体把握数学教材就是指教师要把握教材例题（知识点）之间本质的联系，站在一个较高的层次上用现代数学的观念去审视和处理教材，向学生传递一个完整的数学思想，帮助学生建立一个融会贯通的数学认知结构。

整体把握教材就要求教师备课钻研教材要研究教材的科学性，把握知识的科学含义，做到深入浅出、科学正确地传授知识；要研究教材的逻辑性，运用科学的思维方法，做到讲述通俗严密，思路清晰；要研究教材的系统性，把教材中的各知识点有机地结合起来，做到系统连贯，知识成串。这是整体领会教材的三个重要标志。 这样，在教学活动中，就自然地形成了完整的知识网络，实现思维方法的正确选择和组合，从而达到灵活掌握和支配教材的目的。

二、      教师整体把握数学教材的策略

（一）  把握数学教育的发展方向整体解读数学教材   

1、关注整体素养，统整知识与技能——从内容目标领域名词变化中解读教材

教师钻研教材是一个不断用自己对数学教学的理解去思考编者编写意图的过程，不断明确教材编写者在编写教学内容时的整体目标定位。所以教师钻研教材、把握教材的能力与教师自己对学科知识、学科教育理念的理解是紧密相关的。我们在传统的数学教学中，较多的关注了学生对知识的接受，花大量的时间训练促使学生形成技能，而没有系统关注学生的整体发展的要求，也就是说，我们在教学中注重了知识和技能这一维度的目标，忽视了在教学知识和技能过程中所蕴涵的整体能力和素养的要求，也就是说忽略了三维目标中的后两维的目标。如何使教师在教材钻研上比较直接的领会教材编写者的编写意图，整体把握课程标准对每一内容领域的整体能力和素养要求呢？笔者认为教师在钻研教材的过程中除了要比较系统的理解把握数学教育的改革理念，重点可以抓住对数学学科课程标准中的某些名词变化加以理解。比如：原来的习惯称“几何”转变为现在“空间和图形”；原来的习惯称“计算”现在称“数与代数”等等。这些变化不只是名字上的变化，而是反映了数学教育的发展取向上的变化，比如：从“几何教学”到“空间和图形”的转变。《数学课程标准》对空间观念的具体表现作了这样的阐述：“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件作出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”这为教师在数学课堂教学中实质性地落实空间观念的培养提供了具有操作性的指导。要求教师从学习内容、学习目标、学习方式几个方面进行相应的拓展与改革。从学习内容看，要丰富有关空间观念培养的资源。选择与空间观念密切相关的题材，既应重视让学生对几何形体的形状、大小的感知，更要重视对几何形体的变换、关系的感知。同时，教师应具有较强的课程资源开发与创造的意识，在原有教材内容的教学中更多地注入发展空间观念的元素。从学习目标看，应降低单纯的求积计算的学习要求，减少和控制计算的量，保障将教学重心落在丰富与形成空间表象上。从学习方式看，应以“活动”贯穿学习始终。“表象”存在于人的脑中，“体验”积累于人的心里，表象与体验都不能由外界输入，都不能仅靠语言加以描述，只能发生在学生的数学学习活动中。教师需要设计多样的活动，通过学生的观察、操作、想象、模拟、分析、推理等活动，加强对几何形体的形状、大小、方位、变换、关系和结构的感知与体验，促进其形成正确的认知结构，在获得基本知识技能的同时，很好地发展学生的空间观念。我们在钻研相关的教材内容时着眼点就要发生变化：要从计算几何向空间几何转变。我们以前在研究相关内容时，侧重于对几何图形的认识和几何图形周长、面积、体积的计算，现在我们在钻研教材的时候，除了认识、感受、学习方法等更重要的是发展学生的空间观念。所以我们在教学过程中大量采用用想一想、画一画等活动使学生建立表象，发展空间观念。比如我们在进行圆柱、圆锥的复习时就注意了重心转移 从只关注计算到关注观念、能力、计算并重。

案例1：圆柱、圆锥的复习教学片断

1、探索发现

师：把下面两个长方形旋转一周，可以得到两个圆柱体，大胆猜测一下，所得到的这两个圆柱体的体积、侧面积、表面积相等吗？它们的大小关系是怎么样的？然后用自己的方法验证一下。

3厘米                   4厘米

4厘米                 3厘米

在学生独立思考的基础上组织交流。

生1：左边长方形旋转形成的长方体底面半径是3，高是4，体积是3.14×32×4=111.6（平方厘米）, 右边长方形旋转形成的长方体底面半径是4，高是3，体积是3.14×42×3=150.72（平方厘米），所以右边长方形旋转形成的长方体体积大。

生2：左边长方形旋转形成的长方体体积是3.14×32×4，右边长方形旋转形成的长方体体积是3.14×42×3，因为32×4<42×3，所以右边长方形旋转形成的长方体体积大。

生3：侧面积=2πrh，左边长方体侧面积=2×3.14×3×4，右边长方体侧面积=2×3.14×4×3，

2×3.14×3×4=2×3.14×4×3，所以两个长方体的侧面积相等。

生4：我想像了一下，两个长方体的侧面积相等，左边长方形旋转形成的长方体底面是半径是3的圆，而右边长方形旋转形成的长方体底面是半径是4的圆，因此右边的表面积比较大。

……

师：通过刚才的讨论你发现了什么？

2、拓展练习：将直角三角形ABC以AB为轴旋转一周，得到一个圆锥。以BC为轴旋转一周，得到另一个圆锥。试问，他们的体积相等吗？

A

4厘米          5厘米

B   3厘米  C

学生讨论略

一直以来，小学数学几何教学的重心是周长、面积、体积的计算，以教会学生计算方法为最终目的，学生在课堂中的大量时间，被牵制在解答形式问题中，并且学生除了列式计算以外不知道其它的问题解决方法。因此，这就需要我们将这种只关注计算的教学向关注观念、能力、计算并重的教学转变。而此案例中，教师将教学重心从求积计算转向丰富和形成空间表象、关注方法策略的培养上。很显然，圆柱、圆锥的体积、表面积、测面积的单纯计算量减少了，而更多地让学生在头脑中形成平面图形运动的表象，从而培养学生动态感知图形变换的能力。在此基础上，允许学生用公式推倒比较、计算器计算比较、实物操作比较等多种方法策略解决问题，彰显了学生个性化的思维，丰富了解决问题的策略。

当然我们强调了从内容目标的名词发展上去整体把握教材，并不是一味否定前面，而是倡导老师从发展的眼光辨证的思考教育的发展，我们所说的“几何”到“空间观念”是一种发展，强调“空间观念”并不是不要几何计算，而是更整体的理解我们传统意义上的“几何教学”。

2、 凸现数学本质，以思想方法贯穿——让学科名称的发展名符其实

我们都知道过去小学教师教算术，中学教师教代数和几何，现在都称为数学。也就是说，我们在钻研教材的过程中就要理解和区分算术和数学的区别。算术顾名思义就是数的内容和算的方法和技巧，数学的内涵比算术要丰富的多，它既包含了原来算术的要求，还把数发展到了数和代数，同时学更多的强调了思想和方法（也就是目标中的过程和方法维度）。那么小学教师该如何从数学的角度来钻研教材，如何从数学的角度来钻研小学阶段有关数的知识的教学呢？比如在解方程这一内容里，五年级的教材中首先编写的等式的认识和等式的性质，然后是方程的认识，最后是解方程。其实低年级就学习了利用加减关系，乘除关系求未知数。我们老师有没有想过：为什么在方程认识了以后，又要要求学生解类似与X+3=10这样的方程呢？如何使学生在已有的知识经验的基础上转化为利用等式的性质来解方程呢？其实这就是算术向代数转变的过程，也就要求教师从算术教师向数学教师转变的过程。笔者看到了这样两种不同的教学设计，这两种教学设计是分别基于算术和数学的思想下的两种理解，效果可想而知。

案例2：解方程的教学片段：

教师出示10+x=13，X等于多少？怎么解的？

生：X=13-10，X=3。

师：13-10是怎么想的？

生：求加数，等于和减另一个加数。

师：同学们用加法各部分之间的关系求出了X，还有其他的思考方法吗？（教师期望学生的思维转向利用等式的性质解放程，可惜学生不领情，教师只得引导学生看书）

当学生用阅读课本后，师：书上是怎么做的？看得懂吗？

生：两边减去相同的数。

师：是什么性质？

生：商不变性质。

师：什么性质？

生：等式性质。

师：为什么等式两边同时减去10？

生：根据等式性质，在等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。

师：那两边同时减9可以吗？

生：能是能的，减10比减9好。

师：这样做要得到什么效果？

生：抵消。

师：今天我们就是要用等式性质来解方程。

随后进行了解方程的口答练习，引出“移正变负”的方法。

师：把原方程与第三行比一比，有什么变化？

生：位置变了。

师：谁的位置变了？

生：和。

师：和的位置变了吗？

生：变了，变到前面去了。

师：原来等号左边怎样的？现在呢？

生：一个加数变了。

师：是这样吗？一个加数从左边移到了右边，加数发生了什么变化？

生：原来是正数，移过去后多了一个负号。

师：这叫移正变负。

……

课中教师虽然向学生传递了用等式性质解方程的方法，但学生对这种方法并不太喜欢，有抵触情绪，有相当数量学生在接受了“移负变正，移正变负”后，还是喜欢利用加减关系思考解题方法。作为教师也弄不明白，学生为什么不愿意接受一种新的、先进的方法？这个简单且关键的问题引起了我的思考：既然三年级已经学过利用加减关系来求未知数了，为什么今天还要学习用等式性质解方程？由于课前从来没思考过这样的问题，只是因为书上安排了这样的内容就要教，就把这种方法当作开阔学生思路的一种附属品。教师没有真正理解教材的目的，也就从一开始并不期待人人要在新授中做出积极反映，能接受的接受，不能接受的就用原有的方法解答。

其实，用加减关系求未知数与用等式性质解方程，在数学上完全是两个领域中的——算术的和代数的——不同学习，两者有联系，而后者是前者的发展和提高，运用等式性质解方程具有更广泛的应用性。随着数学知识的深化，一些较复杂的问题用加减关系解答就会显得繁难，而用等式性质解答就能明显地显示出简洁、方便的优越性，学生的思维水平也就越高。

小学数学教师不能停留在用算术思想方法教代数知识的水平，要从算术教师走向数学教师。为此，就要用更高的观点来进行教学，为学生的后续学习打好基础。

怎样站在新的高度实施新的教学呢？下面是再次教学解方程的教学片断：

教师出示10+x=13后提出了这样一个问题：我们要求出这个方程的解，就要把这个方程最后变成怎样的等式？

生：等号的一边是未知数x，另一边是数。

师：为了实现这个目的，应该对这个方程做些什么工作？

生：把等号左边的10去掉，留下x。

师：怎样把这个10去掉，使等式仍成立呢？

生：在等式的两边都减去10。

师：为什么可以这样做？

生：根据等式的性质，这样两边都减去10，左边+10、-10抵消，只保留了x，求出了方程的解。

师：再看x-2=-5，怎样用等式性质变成“x=？”呢？

生：在等式的两边加上2。

师：你是怎么想的？

生：方程的左边加上2，+2和-2抵消，右边是-5+2，所以x=-3。

师：（出示x+5=4，x-5=4）你们有没有办法利用等式性质求这两道方程的解？

同桌讨论，再汇报。

师：由此你们能得出解方程的规律吗？

学生通过观察比较，得出“移正变负、移负变正”的规律。

认识提高了，教材的组织、问题的设置，都不再像以往教算术那样先要确定求什么数，然后回忆加减法算式中各个部分之间的关系，确定解答的方法，而是把含有加减法的方程作为同一种类型的问题，去完成把方程变形为方程的解的工作，这样学生自然而然会意识到怎样使方程的一边留下未知数x，把数放到方程的另一边去。把两个具有相同原理，相同解题步骤的例题整合起来，抓住问题的本质，学生就能更全面地观察到其中的规律，获得一个完整的数学思想。

3、体现过程文化，从生活多样化到数学一般化——让学生明白数学是一堆宝石中最闪耀的一颗

随着人们对数学认识的不断深化和教育教学改革的推进，教材编写过程中经常可以看到课题的变化。比如从“长方形和正方形的周长”到“平面图形的周长”到“周长”，从“米和厘米的认识”到“长度单位”。笔者查询了有关长度单位这一教学内容的在几个版本的教材中的命名，在以前的教材中，这块内容课题名是“米和厘米的认识”人教社的课标教材中这块内容的课题名是“长度单位”，初看内容没有什么变化。但仔细研究，我们可以发现在教材编排上有着很大的区别。原来的教材上主要就是建立厘米和米的表象，会用米和厘米进行测量。而课标教材中对长度单位进行了拓展。什么是长度单位？以往我们理解长度单位，往往把长度单位和国际长度单位统一起来，强调认识千米、米、分米、厘米等长度单位，教学后学生在描述物体的长度时一味追求用尺精确测量物体的长度，对生活中具体问题的解决策略的选择能力较弱。现在我们认为，在生活中长度单位是多样的，一拃、一块橡皮、一个手掌的宽等等都可以作为长度单位来使用，这些长度单位在生活中的应用也非常广泛，只不过利用这些单位在交流的过程中有些不便，需要统一。我们认为在学生学习活动中，除了要让学生感受到没有统一长度单位带来的不便，又要让学生结合生活实际体会到各种长度单位在具体情景中的作用。让学生在表示课桌有多长的活动中，感受到我们可以用各种各样的物体为标准来表示，体会在生活中单位的多样性，使学生在认识国际长度单位之前对长度单位有一个全面的认识。基于这样的理解，我们让学生用不同的工具测量物体长度得到一些模糊的不同的数据；从而利用这些动态生成的课程资源来比较分析，产生认知冲突，创造出统一的长度单位，建立长度单位的表象，学习用尺测量，从而学会清晰的描述物体的长度，解决问题；最后又要利用测量出的物体的长度（生活中各种各样的长度单位）在生活中应用，估测物体长度。从模糊到清晰最后又回到模糊，特别是把学生的数学世界和真实的生活世界进行了沟通，使学生学会了数学知识，学活知识，培养学生的数学意识。

(二） 把握数学教材逻辑体系整体解读数学教材

数学教材的编写是按数学知识的逻辑结构，螺旋上升编排的。在编排教材的过程中主要考虑两条线索：一是考虑知识的形成线索，二是考虑学生的学习认知线索。教师在钻研把握教材的过程中要充分考虑这两条线索，正确科学把握教材中的数学知识，沟通知识与知识之间的内在联系，尽可能的符合学生的认知发展规律。

1、准确深入把握数学知识内涵———保证学生建构意义科学性

我们都认为小学数学知识是非常浅显的，小学数学书上的对概念的表达大部分都采用描述性的方法。我们老师自认为在数学知识的把握上应该没有什么问题，肯定不会出错的。确实，对于小学数学没有很难的数学知识，但要科学的把握数学知识的内涵也不是一件容易的事。

比如：平行和垂直这两个概念：教材中是这样说的：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，或叫这两条直线互相平行。大家都知道平行是同一平面内两条直线之间的关系。那么同一平面内两条直线之间的关系有哪些呢？为什么垂直没有在同一平面内的条件限制呢？平行和垂直之间能不能沟通呢？对于平行线意义的理解有没有另外的方法呢？这些问题都是我们在钻研教材的过程中要思考的。

平行（没有交点）   距离相等

平移

平面上两条直线的关系       重合（2个以上交点）距离为0

旋转

直角

相交（1个交点）          垂直

旋转

从上面的分析可以知道：平面内两条直线之间的关系有三种；垂直是相交中的一种特殊情况，肯定是在同一平面内的，故不用限制；平行平移后可以形成重合，在重合的两条直线上选取一点旋转后可以形成相交，当夹角成为90度是就是垂直，反知，通过旋转以垂足为中心旋转一条垂线可以变成重合，在平移重合中的一条直线变成两条直线互相平行。这样理解，把平行和垂直这两个概念完全整体把握了，同时又为后面画平行线进行了孕伏。对于平行线的意义，学生在理解“同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，或叫这两条直线互相平行”有些难度，我们通过对教材的系统分析发现，其实平行线也可以从另外一个角度来描述：方向完全相同的两条直线叫平行线，这两条直线互相平行。这样建立意义，就避免了同一平面的文字限制。因为方向相同，肯定是在同一平面的。基于这样的把握，我们在对平行线的教学进行了如下处理：

案例3：平行线教学片段：

问题情境：学生在纸上任意画出两条直线以后，教师提出了第一个问题：

你们能把根据两条直线的关系把自己画出来的图形分类吗？

（1）             （2）            （3）                （4）……

学生分类情况：

l       （1）（3）（4）不相交的为一组；（2）相交的为一组。

l       （1）不相交的为一组；（2）（3）（4）延长后会相交的为一组。

l       （1）延长后不相交的为一组；（2）和（3）延长后相交的为一组，（4）重合的为一组。

教师引导学生争论或教师补问：

l       （1）和（3）为什么不分在同一组？或者说：你们为什么认为（3）是相交的？

l       （4）为什么不和（2）（3）分在同一组？

通过分类知道了在纸上两条直线不相交的直线是平行线，教师继续让学生用自己的方法画一组平行线，这时教师提出第二个问题：

你们能用哪些方法来说明这两条直线是互相平行的？预计方法：

l       方向相同：这两条直线都向一个方向，向一个方向的两条直线肯定不相交；（在这个基础上进行拓展）

l       延长后不相交：（有疑义：在纸上不相交，不断延长是不是一直不相交呢？）

l       距离相等：画和它们垂直的线段，在这两条直线间的距离都相等，距离都相等，这两条直线就不可能相交。（引导：让全体同学画一画垂线，量一量垂线段的长度，看看发现什么？）

l       平移重合：其中一条沿着一个方向向另外一条靠拢移动后重合，也说明方向一样，不会相交。

l       ……

反馈以后，又引导学生思考第三个问题：生活中哪些地方存在平行线？

学生举例说了很多平行线，教师引导学生从立体空间中寻找平行线，出示了长方体让学生找出里面的平行线（重点讨论A与B是否是一组平行线）。

让学生生活中寻找平行线（长方体里有几组平行线）来拓展。这样整堂课的教学，就在这样三个问题的引导下完成了。

教师在学生发现了平行线后，让学生自己画出自己认为的平行线，让学生主动的思考怎样的是平行线，感悟发现方向相同的两条直线肯定是平行的，加深对平行线内涵的把握和理解。这样，为初中学习同位角和内错角相等奠定了基础。同时使得学生的视野从有形的面拓展到空间中无形的面，发展了学生的空间观念（最后在寻找立方体里有几组平行线，有许多同学就抓住了方向相同的两条线找出了共有18组）。

2、 科学把握同一内容体系的阶段定位——让学生在每一阶段获得相应的持久发展

小学数学知识结构体系的形成是从低到高逐步螺旋上升的，统一范畴的内容会在不同的年段分别出现。教师在钻研教材的时候就要整体把握区别对待，不能平均使力。

比如统计的相关知识，在第一学段学习了简单的统计，也出现了统计的图表，到第二学段还有统计图的相关内容。我们都知道统计需要让学生经历产生统计需要，收集整理信息，处理表达信息的过程。我在翻阅老师教案的过程中发现，有一位数学老师为了让学生经历这个过程，在每一次出现统计图表的学习时都设计了结合课堂可以收集数据解决的一个问题情景，然后让学生收集数据，处理制图表。我想这样来理解把握教材肯定是不整体的。对于统计的相关知识学习，学生从第一学段到第二学段，已经经历了多次的收集数据，在学习折线统计图和扇形统计图时是否一定要让学生现场收集数据，然后再来处理，可以考虑。我们认为，在学习折线统计图和扇形统计图的时候，没有必要在收集数据这个要求上来定位，而是应该把握“不同类型的统计图是对不同类型的数据的一种处理呈现方式”，主要是让学生通过数据的图式处理让学生真正体会不同统计图的特点，从而初步学习统计图的制作。

又如：在学习国际计量单位的过程中，教材按长度单位------重量单位----时间单位----面积单位------体积单位的顺序编排。看了很多不同的把握和处理教材方法。在国际计量单位的学习时，老师们都会安排感受统一计量单位必要性的环节，特别是在长度，面积，容积（体积）的教学时。我们认为计量单位的教学也是一个整体，在第一次出现长度计量单位时确实有必要让学生感受和体验在交往和交流的过程中统一计量单位的必要性。在后面的计量单位的学习时，完全可以借助学习长度单位的方法迁移类推，也不必又经历一个统一必要性的教学过程，而把课堂宝贵的时间花在另外的教学目标上。这就是对同一范畴的教学内容在不同年段的不同把握。

长度单位    厘米    分米     米   （要经历统一必要性的过程）

类推

面积单位  平方厘米  平方分米  平方米  （不必经历统一必要性的过程） 迁移的

方法

体积单位  立方厘米  立方分米  立方米  （不必经历统一必要性的过程）

3、 巧妙把握知识与知识之间的连接点——让学生抓住知识相互转化的切点

数学知识体系是由一个个的知识点窜在一起形成知识线，线和线交织成知识面，面和面形成知识体系。我们在钻研教材的过程中，既要整体把握知识的点线面体，使得零碎的知识形成知识结构体系，还要努力寻找知识点之间的结构联系。使得教师理解的知识结构有利于学生认知结构组建和完善。比如我们在钻研分小数互化这堂课（分数化小数、小数化分数、怎样的分数可以化成有限小数的规律）的时候，我们就应该思考小学数学教材中数的发展体系时，深入体会教材的编写意图。数的编排顺序是从正整数------分数的初步认识（十进分数）-----小数-----分数的意义（分小数互化）。那为什么要从整数到分数，然后小数最后又到分数呢？除了考虑不同阶段学生的接受能力以外，有没有另外的原因呢？还有一个原因主要是数的产生发展的需要。小数是借助十进分数产生的，所以在十进分数认识以后就跟上小数的意义。所以在理解分数和小数的互化的过程中，就要把握住十进分数这个点。而且如果让学生探究怎样的分数能化成有限小数的特征，如果把握住十进分数的转化也就抓住了根本。因为能转化成十进分数的分数均能化成有限小数，不能转化成十进分数的小数不能化成有限小数，如果围绕这个点的探究，学生的探究心向就和科学的原理一致，也就很容易得出“一个最简分数分母中只含有2和5两种质因数的分数能化成有限小数”这样的结论。在这样钻研的基础上我们设计了如下的教学过程。

案例4：分小数互化

问题情景：出示了以下的数作为问题情景。

师：你们从上面发现了什么？

生：上面有许多数；有分数和小数；我发现0.13等于100分之13；

师：你们怎么这么快就发现了0.13等于100分之13呢？

生：小数就是十进分数的另外一种表示形式。所以可以直接进行改写。

师：你们发现了这两个数相等，那么0.6和五分之四相等吗？怎么比呢？

生：0.6等于五分之三，比五分之四小；五分之四等于0.8，比0.6大。

师：你们是怎么化的？

生：我们都把它们转化成十进分数在改写的：0.6=6/10=3/5；4/5=8/10=0.8；4/5=4÷5=0.8.

师：看来我们可以利用十进分数来进行分小数的互化。请你把上面的小数化成分数。（学生独立把小数化成分数，反馈说说注意的地方）

……

师：刚才利用十进分数把小数化成了分数，那么你们会把下列分数化成小数吗？试一试。（学生独自把上面的分数化成小数，发现了有的可以转化有限小数，有的是无限小数；）

师：如果把刚才这些分数分成两组汇报，分哪两组？（学生汇报，教师分成两列写在黑板上）有什么发现吗？

生：有些分数可以化成有限小数，有些分数不能化成有限小数；能转化成十进分数的分数都能化成有限小数，不能转化成十进分数的分数都不能化成有限小数。……

师：到底怎样的分数能化成有限小数呢？你们思考一下，然后四人小组讨论。（本课进行到35分钟的时候，8个人小组都已经想到和分母有关，想到了十进分数的分母都只含有质因数2和5；而且有5个小组已经在把分母分解质因数了准备验证了）

……

从上面的描述可以看出，教师在研究这个内容的时候，从整体上把握数的产生和发展的过程，紧紧抓住了十进分数这个知识连接点，提供了结构性很强的一组材料。提供学生一个非常广阔的探究空间。我们还可以看出，这样钻研和把握教材，虽然是从知识的体系入手分析教材，理清了知识脉络。这样把握下的课堂，学生的知识和能力发展浑然一体，三维目标得到了很好的落实，发展了学生的智能。

4、 恰当把握教材知识逻辑结构和学生的认知结构的连接点——促进学生意义建构的自觉性和主动性

数学教材有很强的逻辑结构，比如在面积公式的推导过程中，教材是按长方形和正方形的面积       平行四边形的面积           三角形的面积        梯形的面积来编排的。在长方形和正方形的面积公式学习是借助面积单位推导的，平行四边形面积公式是转化成长方形推导的，对于三角形是要用完全一样的两个三角形拼成一个平行四边形推导出面积公式，梯形和三角形类似。我们认为教材的编排是合理的，但在三角形的面积公式推导的教学中我们往往会发现这样的情况：

案例5：三角形面积教学片段：

（1）准备：请学生回家剪两个完全一样的三角形或教师剪好两个完全一样的三角形发给学生。

（2）回忆：平行四边形的面积公式是怎样的？我们是如何推导得到的？

（3）创设问题情景：能不能把三角形也转化成我们已经学过的平面图形，然后求出它的面积呢？

（4）小组合作实践：学生把已经准备好的两个三角形拼成一个平行四边形。

（5）反馈汇报：三角形和平行四边形之间有什么关系？三角形的面积如何计算呢？（得出三角形的面积=底×高÷2）

（6）作业练习：略（已经快下课了）。

以上是教学三角形面积的一个常规的教学方案，这是教材上的一个转化方案，主要是借助转化的思想让学生主动探究解决问题，也是经常在杂志上看到的方案。可是笔者也曾经按照这样的方式组织过教学，发现如果老师不事先布置剪两个三角形或老师不发三角形，学生几乎没人能够想到用两个三角形转化成一个平行四边形。也就是说，前面的教学过程并不一定能够很流畅，或者说，学生想到两个三角形转化成平行四边形是在教师或书本的暗示下取得的。并不是学生真正想到的。对于这样的探究活动，虽然利用了教材上介绍的方法，但没有和学生的认知特点结合起来。

所以，笔者对三角形面积公式的推倒进行了另外一种把握：

案例6：

（1）出示：

6                     8                   4

10

12

6×12=72              8×8=64                  10×4=40

6×12÷2=36           8×8÷2=32               10×4÷2=20

（2）你会求他们的面积吗？（学生逐一求出了三个图形的面积）

（3）能不能添上一条线段使们产生两个三角形，你会求其中一个三角形的面积吗？（学生很快求出了其中一个三角形的面积，并会解释原因是什么？）

（4）如果老师这里有一个这样的三角形你会求他的面积吗？（学生马上想到和平行四边形以及长方形和正方形的联系，求出三角形的面积）

10×8÷2=40

（5）反思：10×8指的是什么？（就是两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积）

（6）总结：三角形的面积=底×高÷2。

（7）计算面积：

底=12，高=13                           底=15  高=12

（8）反馈计算方法：

S=12×13÷2                         S=15×12÷2

=（12÷2）×13                      =15×（12÷2）

=6×13                               =15×6

=78                                 =90

（9）你们为什么这样计算？6×13     15×6计算出的是什么图形的面积？（三角形的面积，也是一个平行四边形的面积）

（10）请你们在上面的三角形中画出这两个平行四边形，你有什么发现？

我们对比这样两种教学设计，对于第一种设计完全按照教材上的知识结构的分析，把三角形转化成平行四边形推导面积公式，推导过程学生费时多，比较牵强，而第二种思路除了把握教材的意图以外，重点还从学生的认知角度思考学生建构意义的过程，进行了调整，而是从平行四边形到三角形，后又由三角形想到转化成平行四边形，并对三角形的面积公式进行计算变形，找到对应的图形，不断自主建构了意义而且发展学生的空间观念。做到了教材知识结构和学生认知的完美结合。

（一）  把握课时教材的呈现内容和顺序整体解读数学教材

教材中材料的选择，呈现都体现了编者的意图，往往是集知识性，教育性，人文性于一体。我们在钻研教材的过程中，要注意理解材料的内涵，理解编者呈现的顺序，从内容，顺序上吃透编者的数学意图和教育意图。

在一年级人教社的教材中6和7的认识这一内容，教材中编写了一个6位同学和1位老师在打扫教室卫生，图上7把椅子，6张课桌。在场景图的下面编排了6和7的点子图，和6和7根小棒组成图形的内容。我们在拿到教材以后，就要思考，编者为什么选择这幅情景图（这个问题答案很显然）？从上到下编排情景图、点子图、小棒有什么用意？

案例7：6和7的认识

下面是两位教师对教材钻研以后执教的两个教学片断：

A教师：

1、观察主题图，引出6、7

师（出示主题图）：图上有些什么？

生：图上有人、桌子、椅子、黑板等。

师：请小朋友数一数，图上有几个人？

学生自由数后报结果。

师：你是怎样数人数的？

生：我是从左数到右的，知道一共有7人。

师：还可以怎样数？

生：先数小朋友，知道6人，再数一位老师，知道7人。

教师组织学生采用类似的方法数椅子等，引出6、7。

2、观察点子图

师：小朋友，你们真能干，已经会数6和7了，我们来看看这幅点子图，你会数吗？

学生一起数点子图，得出点子图也是6和7。

3、数小棒，摆图形

师：我们一起数出6根小棒，看谁能数得又对又快？

学生自由数出6根小棒。

师：用你数出的小棒摆一摆，摆出你喜欢的图形。

学生操作活动后，教师请几位学生展示自己的作品。

教师采用类似的方法教学7。

B教师：

1、观察主题图，引出6、7

师出示主题图：你看到了什么？

学生自由说说看到的事物。当有学生说出具体数量时，教师适时提问：你是怎样数的？

学生说明数的方法：从上往下数……

师：我们边数边把他们排到黑板上来好吗？

师生共同数，并把画有这些事物或人的卡片排在黑板上，引出6、7。

2、引入点子图

师：把你刚才数的东西不用嘴告诉老师，而用小圆片来表示有多少，行吗？

学生自由操作后，教师指名展示。

师：哪位小朋友愿意上来摆给大家看？

一位学生在实物投影仪上操作。

师：你摆了多少个圆片？

生：6个。

师：你为什么摆6个？

生：因为我数的是6位小朋友。

师：谁也是摆小朋友的，你们摆了几个圆片？

摆小朋友的学生纷纷表示也摆了6个。

3、理解点子图

师：谁还想上来摆一摆？

又一位学生来展示，他摆了7个小圆片。

师：小朋友们猜猜看，他摆的是什么？

生1：是椅子。（摆的小朋友摇了摇头）

生2：是桌子。（摆的小朋友点点头，表示正确）

师：这7个圆片可以表示7把椅子吗？

生：可以的。

师：老师现在明白了，7个圆片可以表示7张桌子，7把椅子，那么可不可以表示7个人呢？

学生纷纷说：可以。

师：那么6个圆片可以表示6位小朋友，还可以表示什么呢？

生1：可以表示6把椅子。

生2：可以表示6张课桌。

4、拓展

师：6张桌子，6位小朋友，可以用6表示；7把椅子，7个人，可以用7表示。找一找，教室里、家里哪些东西还可以用6和7来表示

生1：我家的电视机有6个面。

生2：我有6支水彩笔。

生3：我们学习小组有7个人。

……

从以上两种教法中，我们可以看出，两位教师对教材的理解是不相同的。教法一中教师对该教材的理解是狭隘的、粗浅的，他纯粹把教材呈现的内容当作了引入环节的学习材料，无法体现教材内容呈现、解释、沟通知识的价值。教法二中的教师则比较准确地理解了教材呈现内容和顺序的内涵，充分利用教材按一定顺序所提供的学习材料，通过“数图中的内容”、“摆图中的内容”、“说图中的内容”等环节，有层次地引导学生深入学习“6、7”的数学内涵，从而很好地引导学生经历了数“6、7”从具体到抽象，又从抽象到具体的认识过程。从教材编写者的意图来看，教材内容是不能孤立起来看的，其与图下的一些材料一起呈现了五个层面的内容：主题图、集合图、点子图、数、小棒摆图形。它们既是一个整体，又是一个过程，是不能割裂开来理解的。它应该是“6”和“7”两个数从直观感知到抽象归纳、再到理解应用的一个完整的过程；也是一个引导学生从生活到数学，再从数学回到生活的过程。显然，教法一孤立地理解和处理了不同层次上的主题内涵，把每个层面上的内容孤立起来应用，从而失去了主题图的原有价值，使课堂教学凌散而又死板；教法二，则显得完整又流畅，充分发挥了主题图的作用，取得了良好的教学效果。

总之，在这样的理念指导下理解、钻研、把握教材，可以使得教师更清楚的理清数学知识结构，把握数学教材体系，便于学生主动建构，有利于实现教材知识结构很好的向学生头脑中的认知结构转化。在这样的教学活动中，教师对教学过程的教学设计会显得非常轻松，课堂环节大大减少，有利于提供学生自主、合作、探究的时空。从教学目标上看，对于知识技能、过程方法、情感态度价值观这三个纬度互相渗透，相互促进，自然形成一个整体。

当然，以上只是对整体把握数学学科知识体系的角度进行了分析，整体把握教材的内涵是非常广泛的，除了要注重把握知识体系，实现知识结构向认知结构的转变以外，还要注意挖掘教材的教育内涵，整体把握数学教育的整体目标，艺术整合“三维目标”。比如我们在教学圆周率的时候，教师往往会饱含深情的介绍我国伟大的数学家祖冲之先生在公元480年的时候就计算出了圆周率在3.1415926到3.1415927之间，比西方国家要早1000多年，这是我国在数学发展史上的伟大成就，是我们国家的骄傲。试图对学生进行爱国主义的思想教育。但是这样的组织可以看出教师对教材钻研的过程中发现了这个内容所蕴涵的人文内涵。但是学生对于为什么小数点精确的位数越多越伟大并没有多少体会，那老师是不是可以让学生用圆周率取3.14和取3.1415926来计算一个飞机在天空做圆形飞行表演的飞机飞过的圆的周长。这个飞机飞行的圆的半径会在1000米以上，这时周长的差异就会显得非常大。通过这样的经历、比较，让学生感受到我国祖冲之的伟大，无形中渗透教育。象这样具有悠久数学历史的内容我们要善于整体把握和挖掘，当然我们在结合数学知识的内容可以挖掘人文教育内涵，但也要把握住数学思维的本质。

四、      教师整体把握数学教材的注意点

1、树立正确的教材观，是教师主动驾驭教材的前提

教材是落实教学大纲，实现教学计划的重要载体，也是教师进行课堂教学的主要依据。教师要能够主动驾驭教材，发挥自身的主动性和创造性，很大程度上取决于正确的教材观。

首先应该理清教材改革的长期性和教材使用的相对稳定性的关系，客观地认识教材。教材的改革是一个长期的不断的过程，而教材的使用却需要有一个相对稳定的状态，便于教师积累教学经验。从这一点上来说，不管是老教材还是新教材，尽管编写者遵循教材编写的基本原理，力求符合学生的认知特征，深入浅出，循序渐进地来构建教材体系，但都会受到一些客观条件的限制，既无法完全满足现实中的每个学生的需要，又由于教材编写的相对稳定性，不可能及时地把一些反映时代的内容收集进去。

其次是要正确区分教学内容和教材内容，认识到教材是教学内容的一个组成部分，而不是教学内容的全部。虽然教学内容主要来源于教材内容，但教师可以根据教学实际，对教材内容可以有所选择，科学地进行教学法加工，合理地组织教学过程。正因为这样，同样的教材，同样的学生，由于教师的对教材内容的不同处理，就会产生不同的教学效果。

教师只有客观地认识教材，才能发挥处理教材的主动性和创造性，才能主动去寻求优化教材内容的策略，才能对教材少一份埋怨，多一点积极的建议。

  2、主动驾驭教材并不是教师可以随意发挥，而是需遵循一定的原则

    （1）目标性原则

每一课时的教学目标是课堂教学的出发点和归宿，在课堂中起着定向作用。教学内容是实现教学目标的重要保证。教材中的内容是完成教学目标的重要材料，但并不一定是最佳材料，不可能适应所有地区的所有学生，有待于教师对此进行再加工。这个“再加工”必须围绕教学目标进行，加工后的教学内容要体现目标性原则。

（2）主体性原则

教学的任务是解决学生现有的认识水平与教育要求之间的矛盾，教师在学生学的过程中起主导作用，能调节学生与教材之间的关系，为学习而设计教学，是教学设计的出发点，也是归宿。教师必须根据学生的实际情况，增加或补充某些内容，删除某些学生已掌握的内容。做到因材施教。在内容的呈现形式上注意结合儿童的年龄特点。

（3）科学性原则

数学知识具有严密的逻辑性和高度的科学性，小学阶段的数学教学试图用通俗易懂的语言阐明一定的数学原理和方法，但并不乏科学性。因此，“再加工”后的教学材料必须具有科学性。

（4）时代性原则

随着知识信息的激增，社会的进化，教育的发展，教材的内容就要不断地更新换代以适应时代的需要。而教材具有相对的稳定性。这就要求删改某些已陈旧过时的教学内容，增加某些新进展的内容，及时把学科发展前沿点拨给学生。同时还要收集一些社会实践和生活实践中的数学问题，充实教材内容，以培养学生的数学意识和解决实际问题的能力。

（5）可接受性原则

数学知识具有时代性，应该不断地调整和充实。但内容的删增，除了要符合社会发展和现代科技发展的需要外，还必须考虑学生在各发展阶段的适应性和可接受性。

3、教师的数学素养如何直接影响整体把握教材的水平

我们在听课的时候，经常会发现有些老师执教的课有深度，有内涵，有新意。究其原因很重要的就是教师对教材的把握能力，或者说也就是教师根据教材内容和学生情况进行目标定位的水平问题。只除了教师掌握了整体把握教材的策略以外，很重要的一点就是要提高教师的数学素养。只有教师的素养提高了，教师的数学教育观念端正了，在备课钻研教材的时候多问几个为什么？把握住钻研教材整体把握的策略，多从知识形成过程和学生眼中的数学知识的角度作些思考，久而久之，教师的教材整体把握能力自然会得到提高。

从上面的阐述可以看出，整体把握教材对教师来说是一种观念，是教师自己对数学和数学教育的一种理解，是教师数学素养的充分体现。无论多大的知识点都可以在浩瀚的数学王国中找到自己的定位，都可以在数学王国中找到自己的亲朋好友。我们要善于整体把握，善于系统思考，这样就可以使得数学焕发活力，使得我们的数学课堂焕发生命活力。

参考资料：

1、柴岭：《小学数学教师》，2005年第4期，第15页上海教育出版社；

2、郑毓信：《数学思维与数学方法论》2004年，四川教育出版社；

3、斯苗儿：《小学数学课堂教学案例透视》，人民教育出版社2003年12月版，第189-191页；

4、斯苗儿：《小学数学教学案例专题研究》，浙江大学出版社2005年3月版。

5、陈光耀：《数学课程标准》“总体目标” 若干问题的解续，中基网-数学首页；

6、郑毓信《数学方法论》，广西教育出版社，1996.12.第1版；

7、郑君文、张恩华《数学学习论》，广西教育出版社，1996.12.第1版。