eaxsinbx_用“三行列表法”计算两次分部积分题

用“三行列表法”计算两次分部积分题徐群飞Ξ(绍兴文理学院　上虞分院数学系 ,浙江　上虞　312300)摘　要 :两次分部积分题的计算比较复杂 ,若用“三行列表法”计算则大大提高了计算速度和解题效率. 关键词 :两次分部积分题 ;三行列表法 ;计算中图分类号 :O186. 17 　　　文献标识码 :A 　　　文章编号 :1672 - 0768(2003) 05 - 0014 - 02 　　本文用“三行列表法”来计算需要两次分部积分的积分题 , 分部积分法比较繁琐 , 而且浪费时间 ,而“三行列表法”则大大提高了解题效率. 它适用于形如以下例子的题目 : 1、∫x 4 e3edx 2、∫e 2 xsin3 xdx 或∫sinh2 xsin4 xdx 3、∫sin3 xcos 1 2 xdx 或∫sinh3 xcosh2 xdx 1. eax 和sinhax 或 coshax , eax 和sinbx 或 cosbx 组合的积分 1. 1 例如 :求∫e axsinbxdx 三行列表计算法为 : 　eax 　　　sinbx (求导) + (积分) 一次　aeax 二次　a2 eax 　- 　 - 1 b cosbx - 1 b2 sinbx 令 k 为第三行的系数的积 ,即 k = - a2 b2 ,则 ∫e axsinbxdx = 1 1 - k [ - 1 b eaxcosbx - ( - a b2 eaxsinbx ] + c 1. 2 　证明如下 :设 I =∫e axsinbxdx 令 u1 = eax , dv1 = sinbxdx , 则 du1 = aeaxdx , v1 = - 1 b cosbx 　　得 : I = - 1 b eaxcosbx + a b∫e axcosbxdx + c1 ⋯⋯① 令 u2 = eax , dv2 = cosbxdx , 则 du2 = aeaxdx , v2 = 1 b sinbx 得 : ∫e axcosbxdx = 1 b eaxsinbx - a b∫e axsinbxdx + c2 ⋯⋯② 把 ②代入 ①得 : I = - 1 b eaxcosbx + a b [ 1 b eaxsinbx - a b∫e axsinbxdx + c2 ] + c1 　　即 I = - 1 b eaxcosbx + a b2 eaxsinbx - a2 b2 I + c3 其中 c3 = c1 + a b c2 ,令 k = - a2 b2 ,得 : I = 1 1 - k [ - 1 b eaxcosbx - ( - a b2 eaxsinbx ] + c , c = c3 1 - k 例 1 :计算∫e 3 xcos4 xdx 解 : 　e3 x 　　　cos4 x (求导) + (积分) 一次　 3e3 x 二次　 9e3 x 　- 　 1 4 sin4 x - 1 16 cos4 x 　　得 : k = - 9 16 　　所以 41 2003 年第 5 期　　　　　　　　沙洋师范高等专科学校学报 Journal of Shayang Teachers College 　　　　　　　　No. 5 2003 Ξ收稿日期 :2003 - 05 - 29 作者简介 :徐群飞(1975 —) ,女 ,浙江绍兴文理学院上虞分院数学系讲师 ,研究方向 :数学教育. ∫e 3 xcos4 xdx = 1 1 - ( - 9 16 ) [ 1 4 e3 xsin4 x - ( - 3

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