《算法导论》2.2练习答案

2.2-1用Θ记号表示函数n³/1000-100n²-100n+3

舍弃它的低阶项，并忽略前面的常数因子
Θ(n³)

2.2-2考虑排序存储在数组A中的n个数：首先找出A中的最小元素并将其与A[1]中的元素进行交换。接着，找出A中的次最小元素并将其与A[2]中的元素进行交换。对A中前n - 1个元素按该方式继续。该算法称为选择算法，写出其伪代码。该算法维持的循环不变式是什么？为什么它只需要对前n-1个元素运行？用Θ记号给出选择排序的最好情况和最坏情况运行时间。

（1）伪代码：
SELECTION-SORT(A)

for i=1 to A.length-1min_loc=ifor j=i+1 to A.lengthif A[j]<A[min_loc]min_loc=jif min_loc!=iswap(A[i],A[min_loc])

附赠C语言实现：

//用C语言实现选择排序
#include <stdio.h>
#define SWAP(X,Y) X=X+Y;Y=X-Y;X=X-Yvoid selectSort(int* a, int n) {int min_loc;int i, j;for (i = 0; i < n-1; i++) {min_loc = i;for (j = i + 1; j < n; j++) {if (a[j] < a[min_loc]) {min_loc = j;//子序列最小值所在位置} }if (min_loc != i) {SWAP(a[min_loc], a[i]);}}
}main(){//测试int a[] = { 5,2,4,7,1,3,2,6 };selectSort(a, 8);for (int i = 0; i < 8; i++)printf("%d ", a[i]);//输出：1 2 2 3 4 5 6 7
}

（2）循环不变式：在（变量为i的）for循环每次迭代开始时，子序列A[1…i]包含已排序好的最小的i个元素。
（3）因为在n-1次（变量为i的）循环后，子序列A[1…n-1]包含A中已排好序的前n-1个最小元素，因此这时A[n]一定已经是最大的了。
（4）Θ(n²)

2.2-3再次考虑2.1-3中的线性查找问题。假定要查找的元素等可能地为数组中的任意元素，平均需要检查输入序列的多少元素？最坏情况又如何呢？用Θ记号给出线性查找的平均情况和最坏情况运行时间。

2.1-3的线性查找见上一篇：《算法导论》2.1练习解答

平均要检查n/2个，Θ(n)
最坏情况要检查n个，Θ(n)

2.2-4应如何修改任何一个算法，才能使之具有良好的最好情况运行时间。

可以针对特定条件的问题做针对性的样例，如果遇到这种（可能是出现概率较高的）特定条件直接输出准备好的结果，这是针对特定问题的优化。

下一节：算法导论2.3练习答案

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