“同心鼓”运动在理想状态下的最佳策略研究

一、简介

“同心协力”（又称“同心鼓”）是一项团队协作能力拓展项目。该项目的道具是一面牛皮双面鼓，鼓身中间固定多根绳子，绳子在鼓身上的固定点沿圆周呈均匀分布，每根绳子长度相同。团队成员每人牵拉一根绳子，使鼓面保持水平。项目开始时，球从鼓面中心上方竖直落下，队员同心协力将球颠起，使其有节奏地在鼓面上跳动。颠球过程中，队员只能抓握绳子的末端，不能接触鼓或绳子的其他位置。

项目所用排球的质量为270 g。鼓面直径为40 cm，鼓身高度为22 cm，鼓的质量为3.6 kg。队员人数不少于8人，队员之间的最小距离不得小于60 cm。项目开始时，球从鼓面中心上方40 cm处竖直落下，球被颠起的高度应离开鼓面40 cm以上，如果低于40cm，则项目停止。项目的目标是使得连续颠球的次数尽可能多。

二、问题分析

问题要求我们给出在理想状况下团队的最佳协作策略，并给出在该策略下的颠球高度。我们可以忽略一些对颠球运动影响较小的因素的影响，在颠球人数为8人时，通过对排球运动过程的分解分别计算，最终利用非线性规划得到每个人发力时机和发力大小的最佳策略。

三、合理假设

由于研究对象为理想状态下的最佳协作策略，所以本模型可以忽略一些由不确定因素造成的偏差情况：

（1）假设排球运动不受风速影响

由于风速对于排球的影响取决于风速的大小，风速较小时其对排球水平方向运动的影响较小，可以忽略不计；而风速较大时则风速对于排球运动影响较大，应将比赛场地更改为室内或将比赛延期举行。所以可以假设排球的运动不受空气影响。

（2）假设每个人都可以精确控制用力方向、时机和力度

根据题目条件已知，所有人均能准确掌握自身的发力，所以该假设可以视为在理想状况下的运动员的合理状态。

（3）假设游戏过程中人手只做水平运动

通过观察实际“同心鼓”运动过程，可以发现运动员拉绳子的手会有水平和竖直两个方向的运动，但水平方向的运动距离要远大于竖直方向，为了简化模型，假设人的手只会进行水平方向的运动。

（4）排球看做质点

因为我们只研究排球的平动过程，不研究排球的转动过程，所以在忽略排球转动的情况下，可以将排球看做质点。

（5）忽略手臂长度

由于鼓具有一定质量，运动员不可能长时间连续伸长手臂去颠球，这对于手臂力量的需求极大，不利于保存体力，完成更多的颠球，所以假设颠球时运动员的手臂处于收缩状态。

（6）假设球每次均能在鼓面的中心降落

如果排球的落点不位于鼓中央，则如果鼓的受力不均，会导致排球的运动处于更大的偏差状态。实际比赛过程中，运动员会根据排球的落点调整鼓重心的位置，使连续颠球时排球的落点始终位于鼓重心周围的小范围内，为了使模型得到简化，忽略随机因素的影响，取每次排球的落点均为鼓中心。

（7）假设鼓面与球的每次碰撞均为完全弹性碰撞

因为鼓面与排球之间的恢复系数无从查阅，根据生活常识，鼓与排球的弹性极佳，能量损失可以忽略不计，认为他们碰撞遵循机械能守恒。

（8）假设碰撞为一瞬间完成

因为鼓面与排球之间的碰撞时间极短，在碰撞时间内鼓与排球的位移可以忽略不计，并且我们无需研究碰撞过程中鼓与球之间冲量与力的定量关系，所以忽略碰撞时间，假设碰撞在一瞬间完成。

（9）忽略摩擦力

绳子与鼓之间由于存在角度的改变所以存在摩擦力，但该摩擦力与绳子受力相比极小，在理想状况可以忽略不计。

四、模型参数

$h$	球初始下落高度
$l$	绳长
$d$	鼓面直径
$s$	鼓身高度
$\theta_1$	击球时绳子与水平夹角
$\theta_2$	鼓下降到最低点时绳子与水平夹角
$m$	小球质量
$M$	鼓质量

五、物理模型的抽象与建立

5.1 运动过程

游戏开始前小球位于鼓上平面中心正上方40cm的O点处，鼓上平面处于B点处，鼓面处于水平状态。游戏开始时，忽略空气阻力，小球处于自由落体状态，队员通过绳子对鼓施加一向上的合力，使鼓竖直上升。鼓上面在A处与小球发生完全弹性碰撞。碰撞后，所有队员撤力使绳子处于松弛状态，小球与鼓均处于竖直上抛状态，小球竖直上升，鼓处于竖直上升到最高点后再自由落体回到B点。此时所有人用力拉紧绳子使鼓瞬间停在B处，同时保证小球上升至初始位置O点时鼓已经或刚好停在B处。重复以上过程直至游戏结束。

5.2 受力分析

实际比赛中所用的道具和所处的环境有着很多的无关变量，例如鼓的颜色，球的花纹等，我们需要将这些无关变量从模型中剔除除去，只保留与受力分析相关的元素，分别对排球和鼓进行受力分析，建立对应的物理模型。

3.2.1 排球在空中时：

图1 球向上运动时球的受力分析图2 球向下运动时球的受力分析

球在向上运动时，受到自身重力和空气阻力的作用，两种力的方向相同，所受合力为：

$\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over F} = m \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over a} = m \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over g}+ \gamma \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over v}$

球在向下运动时，受到自身重力和空气阻力的作用，两种力的方向相反，所受合力为：

通过初步计算，当排球从40m高度竖直落下，速度最大时所受到的空气阻力的数量级为 $10^{-5}$ N，远小于排球所受到的重力，对于排球速度的影响微乎其微，所以可以忽略排球平动过程中空气阻力的影响。

3.2.2 排球与鼓撞击时：

图3 与鼓撞击时球的受力分析

图4 与鼓撞击前后速度变化

在球与鼓面撞击时，由于碰撞在一瞬间完成，所以可以忽略空气阻力的影响，球除了会受到自身的重力外，还会受到鼓对其向上的弹力。因为假设球与鼓面碰撞为完全弹性碰撞，所以根据动量守恒定理和能量守恒定理：

在鼓面与排球碰撞过程中， $v_g$ 、 $v_q$ 为碰撞前鼓和球速度 $v_g'$ ， $v_g'$ 、 $v_q'$ 为碰撞后鼓和球速度。由于发生非弹性碰撞，需要引入碰撞恢复系数e的概念：

该系数与碰撞物体的材质和接触面积有很大关系，考虑到该题中使用的同心鼓和排球的材质，碰撞过程很接近完全弹性碰撞，所以假设e=0.95。

因为球需要离开鼓面至少40cm，为了节约体力运动员应在鼓击球瞬间停止用力，使鼓处于初速度方向为竖直向上的自由落体状态，同时球也处于初速度方向为竖直向上的自由落体状态，因为球的初速度大于鼓的初速度所以鼓在运动到最高点时球还处于加速度竖直向下，速度竖直向上的匀减速运动。为了不违反规则，在球与鼓之间最大高度上留有余地，不妨令鼓上升的最大高度与球上升的最大高度之间的距离为40cm并使球始终保持在击球点与最大高度之间运动，如图所示：

上升过程中所消耗的时间可用以下公式计算：

$h=v_2t_1-\frac{1}{2}gt_1^2$ ，

下降过程为自由落体运动，所以需要的时间为：

$h=\frac{1}{2}gt_2^2$

总时间 $t=t_1+t_2$ 。

3.2.3 鼓被绳子拉动时

由于模型是在理想状况下所建立，所以牵拉鼓的人数对于结果没有影响，可以暂定牵拉人数为最低人数8人。为了使鼓的受力能够平衡，需要8个人均匀排布在鼓的四周,这就使鼓的受力具有 $C_8$ 对称性，可以将其转化为四个二维方向上受力的叠加，如图所示：

因为总共8个人，所以每根绳子之间的夹角为：

$\alpha =\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$

因为人与人之间距离的最小值L为60cm，不妨假设竞技时人与人之间的距离为L，根据三角函数公式：

$\cos\alpha =\frac{x^2+x^2-L^2}{2x\cdot x}$

解得人与鼓中心的距离x为78.39cm，人与鼓边缘的距离为58.39cm。

设绳长为r，则绳子末端与鼓重心之间的竖直距离为：

$h=\left(r^{2}-x^{2}\right)^{1 / 2}$

当当绳长固定，绳子末端只做水平运动，即拉绳子的手只在水平方向活动时，鼓所受到的力为：

$F_{up}=8F\sin \theta$

$G=Mg$

在比赛刚开始时，球从最大高度处落下，鼓从最低点向上运动，初始角度为 $\theta_0$ ，此时受到的合力为：

$F=F_{up}+G=2F\sin \theta_0-Mg$

当合力的大小等于零，即鼓的运动速度最快时，球正好和鼓发生完全弹性碰撞，此时力所做的功传递给球的动能最大，此时θ的大小为：

$\theta_1 =\arcsin \left(\frac{Mg}{F} \right )$

拉力所做的功W为：

$\begin{cases} dW=8F\sin\theta dh \\ dh=rd\sin\theta \end{cases}$

即： $W=\int_{\sin\theta_0}^{\sin\theta_1} 8Fr\sin\theta d\sin\theta$

根据能量守恒定律碰撞前一瞬间鼓的速度为：

$\frac{1}{2}Mv^2=W-Mgr(\sin\theta_1-\sin\theta_0)$

六、模型的求解

6.1 全过程分析

在上文受力分析与过程分析的基础上，我们进一步对于排球与鼓的运动过程进行分部计算，得到总运动过程的精确结果。

以鼓在初始位置时的重心为坐标原点，竖直向上为正方向，竖直向下为力的正方向，建立一维坐标系。

开始运动时，小球从O点自由落体运动至A点，到达A点时速度为 $v_q$ ，

从O点到达A点所需的时间为 $t_1$ ：

在鼓从B点上升至A点的过程中，设某一时刻绳子与水平方向夹角为θ，绳子对鼓拉力的竖直分力为 $T$ ，

鼓上升高度为 $x$ ，

联立可得分力T和高度x的关系为：

鼓所受到的合力即为分力T与自身重力Mg的叠加，根据牛顿第二定律可得鼓加速度与力之间的关系：

该微分方程的初始条件为x=0，x’=0，通过化简的到该微分方程的解析解为：

x便为鼓随时间运动在竖直方向上的位移。

根据我们所建立的策略模型，要求排球速度达到时刚好与鼓碰撞，即鼓上升的距离恰好等于排球的高度减去排球下落的距离：

化简得到：

同时根据动能定理，鼓上升过程需要满足如下等式：

进一步计算得到：

该系数与碰撞物体的材质和接触面积有很大关系，考虑到该题中使用的同心鼓和排球的材质，碰撞过程很接近完全弹性碰撞，所以假设鼓与排球之间的恢复系数e=0.95。

由动量定理可知：

结合碰撞恢复系数和动量定理，联立以上两式可得：

可以求得碰撞损失的能量E为：

因为排球竖直上升能够回到O点，所以碰撞后速度与碰撞前速度等大反向：

鼓在碰撞后处于竖直上抛运动，最终回到B点，此时速度为 $v_B$ ，

同时为满足游戏规则，保证排球上升到最大高度时与鼓面距离为40cm，应使这一过程的时间应满足以下约束条件，即鼓上升运动的时间不能大于小球上升至O点时间：

化简得到：

为方便求解鼓下落所需的时间，本文规定鼓在到达B点的一瞬间，所有队员绷紧绳子使鼓迅速停止，这便简化了鼓的运动过程。重复进行上述运动直至游戏结束。

6.2 利用非线性规划对模型求解

根据之前过程和约束条件，由于在每一次颠球过程中每个人做功相同，所以总功W可以视为8个人做功的叠加：

定义目标函数为：

由于同心鼓运动获胜的条件是队伍连续颠球的次数尽可能多，因为每名队员的体力有限，在没有补给的情况下每名队员颠球时所作的总功一定，为了获得更多的颠球次数，所以需要每一次颠球运动员所需的体力最少，即每次颠球所作的总功最少，以该条件作为目标函数，以寻求团队的在最佳协作策略。

根据上文可知，该目标函数应满足一下约束条件：

s.t. lcosθ2+d2*sin45°2≥0.62vq2=2gh-lsinθ2-sinθ1vq=π2∙gMl8FMglsinθ2-sinθ1-4Flsin2θ2-sin2θ1+ 12Mvg2=0 vg'=vg-mM+m1+0.95vg-vqvq'=vq+MM+m1+0.95vg-vqvq'=-vqvB2-vg'2=2glsinθ2-sinθ1vB-vg'≤-vq'

通过MATLAB的fmincon函数求解以上非线性规划目标，得到其中一个最优解：

七、模型拓展

由于在现实生活中，每名队员不可能完全精确控制自身发力的方向、时机和力度，所以每次颠球总会与理想状态存在一些差距，在这种情况下，颠球时的鼓面便不会总是保持水平，设队员人数为8，绳长为1.7m，鼓面初始时刻是水平静止的，初始位置较绳子水平时下降11 cm，表1 中给出了队员们的不同发力时机和力度，求0.1 s 时鼓面的倾斜角度。

7.1 模型准备

在运动学中，物体的旋转遵循欧拉旋转定理，即在三维空间里，假设一个刚体在做旋转运动时，刚体内部至少有一点固定不动，则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。在同心鼓运动中，可以认为鼓的重心保持不动，鼓围绕着鼓的重心做旋转运动。

假设同心鼓只有三个自由度：沿着z轴方向的平动和绕x、y轴的转动。

$e_x,e_y,e_z$ 是一组正交向量基，对于任意向量A有

$A_x,A_y,A_z$ 分别为向量A在x,y,z轴上投影的长度。

根据矢量运算法则可知：

所以可以得到：

对于图中红色的矢量也可表示为

将上面求和形式写成矩阵表达式：

I则为转动变换矩阵

7.2 同心鼓的转动

根据欧拉旋转定理一个刚体做有限旋转运动时，刚体内至少存在一固定点，且旋转运动可以等价于刚体绕通过该定点的某一转轴旋转得到。如果同心鼓先绕y轴转动α角度，再绕x轴转动β角度，先后两次转动变换矩阵为

刚体连续转动两次后的变换矩阵可由各次转动变换矩阵相乘得到

显然两次转动的先后顺序对应两个不同的转动后状态，两个变换矩阵不相等说明两次转动后的状态与转动顺序有关，但是由于转动角度很小，sinα约等于0，cosβ约等于1，所以两个矩阵均可以简化为：

由此可以得出结论，在转动角度很小时转动顺序影响微略不计。

当队员手拉绳子因为施力不均匀使同心鼓发生转动后，使鼓的上面相对于水平方向发生倾斜，倾斜角为γ，可以用α，β两个偏转量表示出倾斜角

对同心鼓做受力分析，其在三个自由度上的运动用如下微分方程表示

其中Mi为同心鼓受到的力矩，Jx，Jy是同心鼓绕x轴和y轴的转动惯量，由于对称性Jx=Jy。同心鼓可近似看成空心的圆柱体，鼓侧壁和鼓面厚度忽略不计，鼓身高度为s，计算出质量密度

则转动惯量

7.3 模型的求解

上述微分方程难以求得解析解，我们使用matlab的ode45命令求得α，β的数值解，进而计算出不同情况下同心鼓的倾斜角γ。

7.4 拉绳策略的调整

根据以上模型，由于每个队员的发力时机和力度不能精确控制，导致鼓面在上升过程中会发生一定程度的倾斜，使排球不能完成精确的竖直上抛运动，这就需要我们根据需要调整最初的拉绳策略。

在前文中，我们规定在理想状态下球每次与鼓面撞击时均位于鼓的正中央，当排球与倾斜的鼓面中央发生碰撞时，排球被弹起后的速度会有一水平的分量，导致其向某一方向水平位移。由于排球运动方向已偏离竖直方向，如果不改变策略，依旧把鼓面保持在水平状态下，由于此时排球速度存在水平分量，所以下一次颠球之后排球存在水平运动过程，经过多次颠球后水平偏差越来越大，增大比赛终止的风险。这就需要所有选手向该方向移动一段距离，使鼓面的中央恰好处于排球的落点。并且由于空气阻力极小，球的水平位移不会因为空气阻力而停止，所以移动过程中处于后退位置的选手应适当加大拉绳力度，调整自身的发力大小和方向使鼓面沿排球水平运动方向的反方向倾斜，给排球以水平运动方向相反的力，来控制排球运动的方向，阻止排球的水平运动并回到竖直运动状态。

7.5 拉绳策略模型的建立与求解

假设人数为10，绳长为2m，球的反弹高度为60cm，相对于竖直方向产生1 度的倾斜角度，且倾斜方向在水平面的投影指向某两位队员之间，与这两位队员的夹角之比为1:2。

当所有队员的发力时机和角度都可以精确控制时，不妨设所有队员都同时发力，只对发力大小做调整，这就将题目转换为通过发力大小控制鼓的倾斜程度进而使有水平运动分量的排球在一次撞击后处于竖直运动状态。

根据题目，球的反弹高度为 60cm，反弹到最高点时相对于竖直方向产生1°的倾斜角度，根据速度与位移的关系，排球再次与鼓碰撞的示意图如下所示：

在不考虑空气阻力的情况下，可求得球碰撞后一瞬间速度的竖直分量：

上升时间 $t_{up}$ 为

排球水平位移等于：

由于排球上升过程和下降过程完全对称，所以排球下降过程的水平速度等于排球上升过程球水平速度，通过排球水平运动位移与时间的关系，可以求得其水平速度：

所以碰撞后一瞬间速度方向与竖直方向夹角 $\theta_2$ 为

假设下一次颠球时是在排球下落0.6m处，若想使排球运动方向回到竖直方向，则需要调整鼓面与水平方向产生一个倾角 $\theta_1$ ，如下图所示：

根据上文已知排球速度有相对于竖直方向成0.5度的倾斜角，所以排球水平方向上的速度变为竖直方向上的初速度乘 $\cos(\frac{\pi}{360})$ ，由此排球的运动便可转换为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动。

对排球与鼓的撞击状态建立物理模型，由于排球与鼓撞击的入射角等于反射角，入射方向与竖直方向呈0.5度，反射方向为竖直方向，所以入射角等于 $0.5\theta_2$ 。显然鼓面的倾斜角 $\theta_1$ 等于入射角等于 $0.5\theta_2=0.25\�$ 。

由于倾斜方向也有限制，在水平面的投影指向某两位队员之间且与这两位队员的夹角之比为 1:2，也就是分别夹角12°和24°。所以要保证鼓面上与水平方向成0.25°角的那一条直径与倾斜方向相同，才能消除排球的水平运动分量。

假设在球达到最高处时队员已经把鼓面调整至水平静止状态，初始位置较绳子水平时下降11 cm。每个人发力时机均一致，但精确控制发力大小使得在小球下落高度为0.6m时恰好与鼓面碰撞，而且能够使球回到竖直运动状态。而且因为倾角太小，为简化计算，可仍将碰撞近似视为对心碰撞，从而沿用在理想状态下的计算公式进行分析。

以竖直向下为正，排球与鼓撞击时的速度为其水平速度与竖直速度的叠加：

考虑到球碰撞后反弹高度不少于0.4m才不会终止比赛，所以排球速度应满足以下约束条件：

沿用理想状态下鼓与排球的对心碰撞计算公式：

可以计算得鼓与排球碰撞前的速度应该满足：

绳子与水平的初始角度满足：

根据之前分析，拉力总分力T修正为：

鼓上升的距离为x：

t = 0.1s时鼓与球碰撞，鼓上升高度

由动能定理可以得到：

化简得到：

定义目标函数为

由于该问题需要不同位置的队员施加不同大小的力，为了使受力均衡，防止出现不同队员之间用力差别过大的情况，该非线性规划舍弃了以全部人员做功最小为目标函数，转而改变为令全体成员的发力方差最小的优化目标，与实际运动过程更加相符。

根据以上分析，该目标函数应满足以下约束条件：

八、补充模型

当人数为10，绳长为2m，球的反弹高度为60cm，相对于竖直方向产生1 度的倾斜角度，且倾斜方向在水平面的投影指向某两位队员之间，与这两位队员的夹角之比为1:2时，为了将球调整为竖直状态弹跳，还可以通过以下方法实现。

根据上文，要想使排球再次被颠起后保持竖直方向，需要将使排球与鼓撞击时鼓面与地面呈 $\theta_1=0.25$ 度夹角，因为 $l\left[ \cos(\theta+ \theta_1)-\cos(\theta) \right]\approx 0$ ，所以由该夹角导致的不同队员做功的不同可以近似忽略，模型可以简化为两个独立过程的叠加：

过程一：所有队员在相同的时间点用同样的力度共同拉动鼓，鼓在队员的拉力和重力的合力作用下竖直上升并与落下的排球发生对心碰撞，之后所有队员撤力使鼓进行竖直上抛运动直至回到起点，排球同样进行竖直上抛运动在鼓回到起点后达到最高点。根据上文所述，该过程应当满足以下条件：

1.碰撞结束后排球的速度应保证上升的高度应大于40cm

2.排球上升到最高点的时间应大于鼓面在碰撞后回到原点的时间

3.碰撞过程满足碰撞恢复系数关系式

过程二：除去过程一所有队员给鼓施加的力和鼓自身的重力，仅让排球偏向方向与之成夹角的两名队员发力，并使合力沿排球运动方向。将该合力分解为两个方向的分力，一个分力沿鼓平面的切线方向，使鼓发生沿鼓平面切线方向的平动，由于鼓的平动距离较小，可以忽略由于平动带来的碰撞时高度的变化；另一个分力沿鼓平面的法线方向，使鼓发生平面转动。因为转动角度非常小，所以可以忽略转动造成的受力角度的变化，认为队员给予鼓的力为一恒力。由此可以转换为鼓的平动和平面转动，并依此从新建立同心鼓运动的最佳策略。

当鼓从60cm高度落下时，所有队员把握时机共同发力，除排球偏移方向上的两名队员外，其他队员的发力大小相同，两名队员施加的力的大小在其他队员的力度基础上，额外附加使鼓发生转动偏移的力，使鼓发生0.25度的平面转动，在鼓与排球发生碰撞后使排球恢复竖直状态运动。