[线筛五连]线筛约数和

没做到过要用这玩意儿的。。。

线筛约数和

约数和的定义

定义如它的名字所示，表达式如下：

σ1(x)=∑d|xdσ1(x)=∑d|xd

\sigma_1(x)=\sum_{d|x}d

约数和的性质

根据算术基本定理，计算约数和有个公式，设x=pa11pa22...pannx=p1a1p2a2...pnanx=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}，那么有：

σ1(x)=(1+p1+p21+...+pa11)(1+p2+p22+...+pa22)...(1+pn+p2n+...+pann)σ1(x)=(1+p1+p12+...+p1a1)(1+p2+p22+...+p2a2)...(1+pn+pn2+...+pnan)

\sigma_1(x)=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+...+p_2^{a_2})...(1+p_n+p_n^2+...+p_n^{a_n})

积性也很好证，两个互质的数拥有两个不同的质因数集合，根据上面的公式，显然是可以直接乘起来的。

其他的性质因为没用过，也不太了解。。。

约数和的线筛

按照惯例，设T=i×p[j]T=i×p[j]T=i\times p[j]。

根据线筛σ0(x)σ0(x)\sigma_0(x)的套路，我们也开一个数组prod[i]prod[i]prod[i]表示以111为首项，i" role="presentation" style="position: relative;">iii的最小质因数为公比，项数为iii的最小质因数的指数的等比数列的和。

1.当T" role="presentation" style="position: relative;">TTT为素数时，TTT的因数只有1" role="presentation" style="position: relative;">111和它本身，所以σ1(T)=prod[i]=T+1σ1(T)=prod[i]=T+1\sigma_1(T)=prod[i]=T+1；

2.当TTT拥有多个最小质因子（即i mod p[j]=0" role="presentation" style="position: relative;">i mod p[j]=0i mod p[j]=0i\ mod\ p[j]=0）时，因为p[j]p[j]p[j]为iii的最小质因子，那么T" role="presentation" style="position: relative;">TTT与iii相比，就是在1+p[j]+p[j]2+...+p[j]n" role="presentation" style="position: relative;">1+p[j]+p[j]2+...+p[j]n1+p[j]+p[j]2+...+p[j]n1+p[j]+p[j]^2+...+p[j]^n这个等比数列里比iii多了一个p[j]n+1" role="presentation" style="position: relative;">p[j]n+1p[j]n+1p[j]^{n+1}，所以有：prod[T]=prod[i]×p[j]+1,σ1(T)=σ1(i)×prod[T]prod[i]prod[T]=prod[i]×p[j]+1,σ1(T)=σ1(i)×prod[T]prod[i]prod[T]=prod[i]\times p[j]+1,\sigma_1(T)=\sigma_1(i)\times\frac{prod[T]}{prod[i]}；

3.当TTT的最小质因子都只有一个（即i mod p[j]≠0" role="presentation" style="position: relative;">i mod p[j]≠0i mod p[j]≠0i\ mod\ p[j]≠0）时，p[j]p[j]p[j]为TTT的最小质因子，所以有prod[T]=p[j]+1,σ1(T)=σ(i)×(p[j]+1)" role="presentation" style="position: relative;">prod[T]=p[j]+1,σ1(T)=σ(i)×(p[j]+1)prod[T]=p[j]+1,σ1(T)=σ(i)×(p[j]+1)prod[T]=p[j]+1,\sigma_1(T)=\sigma(i)\times (p[j]+1);

综上：

σ1(T)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪T+1σ1(i)×prod[T]prod[i]σ1(T)=σ(i)×(p[j]+1)T∈Primei mod p[j]=0i mod p[j]≠0σ1(T)={T+1T∈Primeσ1(i)×prod[T]prod[i]imodp[j]=0σ1(T)=σ(i)×(p[j]+1)imodp[j]≠0

\sigma_1(T)=\left\{ \begin{array}\\ T+1&\\ \sigma_1(i)\times\frac{prod[T]}{prod[i]}&\\ \sigma_1(T)=\sigma(i)\times (p[j]+1)&\end{array}\right.

代码

void get()
{R i,j,t;check[1]=prod[1]=sumd[1]=1;for(i=2;i<=N;++i){if(!check[i])prod[i]=sumd[i]=1+i,p[++p[0]]=i;for(j=1;j<=p[0];++j){t=i*p[j];if(t>N)break;check[t]=1;if(i%p[j]==0){prod[t]=prod[i]*p[j]+1;sumd[t]=sumd[i]/prod[i]*prod[t];break;}prod[t]=p[j]+1,sumd[t]=sumd[i]*(p[j]+1);}sumd[i]+=sumd[i-1];}
}