LoG(Laplacian of Gaussian)算子和DoG(Difference of Gaussian)算子是图像处理中实现极值点检测(Blob Detection)的两种方法。通过利用高斯函数卷积操作进行尺度变换，可以在不同的尺度空间检测到关键点(Key Point)或兴趣点(Interest Point)，实现尺度不变性(Scale invariance)的特征点检测。

Laplacian of Gaussian(LoG)

Laplace算子通过对图像求取二阶导数的零交叉点(zero-cross)来进行边缘检测，其计算公式如下：

$$nabla ^2 f(x,y)=dfrac{partial^2 f}{partial x^2} + dfrac{partial^2 f}{partial y^2}$$

由于微分运算对噪声比较敏感，可以先对图像进行高斯平滑滤波，再使用Laplace算子进行边缘检测，以降低噪声的影响。由此便形成了用于极值点检测的LoG算子。常用的二维高斯函数如下：

$$G_sigma(x,y)=dfrac{1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}} exp(-dfrac{x^2+y^2}{2sigma ^2})$$

原图像与高斯核函数卷积后再做laplace运算

$$Delta [G_sigma(x,y) ast f(x,y)]=[Delta G_sigma(x,y)] ast f(x,y)$$

$$LoG = Delta G_sigma(x,y)=dfrac{partial^2 G_sigma(x,y)}{partial x^2} + dfrac{partial^2 G_sigma(x,y)}{partial y^2}=dfrac{x^2+y^2-2sigma^2}{sigma^4}e^{-(x^2+y^2)/2sigma^2}$$

所以先对高斯核函数求取二阶导数，再与原图像进行卷积操作。由于高斯函数是圆对称的，因此LoG算子可以有效地实现极值点或局部极值区域的检测。

Difference of Gaussian(DoG)

DoG算子是高斯函数的差分，具体到图像中，就是将图像在不同参数下的高斯滤波结果相减，得到差分图。DoG算子的表达式如下：

$$DoG = G_{sigma_1} - G_{sigma_2}=dfrac{1}{sqrt{2pi}} [dfrac{1}{sigma_1} e^{-(x^2+y^2)/2sigma_1^2} - dfrac{1}{sigma_2} e^{-(x^2+y^2)/2sigma_2^2}]$$

如果将高斯核函数的形式表示为

$$G_sigma(x,y)=dfrac{1}{2pi sigma ^{2}} exp(-dfrac{x^2+y^2}{2sigma ^2})$$

则存在以下等式

$$dfrac{partial G}{partial sigma} = sigma nabla ^2 G$$

$$dfrac{partial G}{partial sigma} approx dfrac{G(x,y,ksigma)-G(x,y,sigma)}{ksigma-sigma}$$

因此有

$$G(x,y,ksigma)-G(x,y,sigma) approx (k-1)sigma^2 nabla ^2 G$$

其中$k-1$是个常数，不影响极值点的检测，LoG算子和DoG算子的函数波形对比如下图所示，由于高斯差分的计算更加简单，因此可用DoG算子近似替代LoG算子

边缘检测(Edge Detection)和极值点检测(Blob Detection)

LoG算子和DoG算子既可以用于检测图像边缘，也可用于检测局部极值点或极值区域，图像边缘在LoG算子下的响应情况如下图所示，二阶微分算子在边缘处为一过零点，而且过零点两边的最大值(正)和最小值(负)的差值较大。

接下来观察下图，由边缘过渡到极值点，LoG算子的响应变化

LoG算子在极值点(Blob)处的响应如下图所示：

通过定义不同尺寸的高斯核函数，可以实现在不同尺度检测Blob，如下图所示

算法流程对原图像进行LoG或者DoG卷积操作

检测卷积后图像中的过零点(边缘)或者极值点(Blob)

如果是检测边缘，则对过零点进行阈值化(过零点两边的最大值和最小值之间的差值要大于某个阈值)；如果是检测极值点，则极值点的LoG或DoG响应值应该大于某个阈值。

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