%% 符号变量与符号表达式

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%1.符号变量与符号表达式

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clear all ;

clc;

close all;

% f =sym( 'sin(x)+5x')

% f —— 符号变量名

% sin(x)+5x—— 符号表达式

% ' '—— 符号标识

% 符号表达式一定要用' ' 单引号括起来matlab才能识别

% ' ' 的内容可以是符号表达式，也可以是符号方程。

% 例：

% f1=sym('a*x^2+b*x+c') —— 二次三项式

% f2=sym('a*x^2+b*x+c=0' )—— 方程

% f3=sym('Dy+y^2=1') ——微分方程

% 符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算

% syms 命令用来建立多个符号量，一般调用格式为：

% syms 变量1 变量2 ... 变量n

%% 符号矩阵的创建

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%2.符号矩阵的创建

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 数值矩阵A=[1,2;3,4]

% A=[a,b;c,d] —— 不识别

% @1.用matlab函数sym创建矩阵(symbolic的缩写)

% 命令格式：A=sym('[ ]')

% ※ 符号矩阵内容同数值矩阵

% ※ 需用sym指令定义

% ※ 需用' '标识

% 例如：

A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]')

% A =

% [ a, 2*b]

% [3*a, 0]

% 这就完成了一个符号矩阵的创建。

% 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 matlab数值矩阵的一个重要区别。

%@2.用字符串直接创建矩阵(这种方法创建的没有什么用处)

% ※模仿matlab数值矩阵的创建方法

% ※需保证同一列中各元素字符串有相同的长度。

% 例：

A =['[ a,2*b]'; '[3*a, 0]']

% A =

% [ a, 2*b]

% [3*a, 0]

%@3.符号矩阵的修改

% a.直接修改

% 可用光标键找到所要修改的矩阵，直接修改

% b.指令修改

% ※用A1=sym(A,*,*,'new') 来修改。 这个经过测试，不能运行

% ※用A1=subs(A, 'new', 'old')来修改

% % 例如：A =[ a, 2*b]

% [3*a, 0]

A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]')

% A1=sym(A,2,2,'4*b') %%等效于A(2,2)='4*b';

% A1 =[ a, 2*b]

% [3*a, 4*b]

A1=subs(A,'0','4*b')

A2=subs(A1, 'c', 'b')

% A2 =[ a, 2*c]

% [3*a, 4*c]

%@4.符号矩阵与数值矩阵的转换

% ※将数值矩阵转化为符号矩阵

% 函数调用格式：sym(A)

A=[1/3,2.5;1/0.7,2/5]

% A =

% 0.3333 2.5000

% 1.4286 0.4000

B=sym(A)

% ans =

% [ 1/3, 5/2]

% [10/7, 2/5]

% ※将符号矩阵转化为数值矩阵

% 函数调用格式： numeric(A)

% B =

% [ 1/3, 5/2]

% [10/7, 2/5]

%numeric(B) 这个函数不存在了

VPA(B,4) %发现这个函数可用

% R = VPA(S) numerically evaluates each element of the double matrix

% S using variable precision floating point arithmetic with D decimal

% digit accuracy, where D is the current setting of DIGITS.

% The resulting R is a SYM.

%

% VPA(S,D) uses D digits, instead of the current setting of DIGITS.

% D is an integer or the SYM representation of a number.

% ans =

% [ .3333, 2.500]

% [ 1.429, .4000]

%% 符号运算

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%3. 符号运算

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 例1：

f=sym( '2*x^2+3*x-5'); g=sym( 'x^2+x-7');

h= f+g

% h=

% 3*x^2+4*x-12

% 例2：

f=sym('cos(x)');g=sym('sin(2*x)');

f/g+f*g

% ans =

% cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x)

%% 查找符号变量

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%4.查找符号变量

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% % findsym(expr) 按字母顺序列出符号表达式 expr 中的所有符号变量

% % findsym(expr, N) 列出 expr 中离 x 最近的 N 个符号变量

% 若表达式中有两个符号变量与 x 的距离相等，则ASCII 码大者优先。

% ※常量 pi, i, j 不作为符号变量

% 例：

f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a');

findsym(f)

% ans =

% a, w, y, z

findsym(f,3)

% ans =

% y,w,z

findsym(f,1)

% ans =

% y

%% 计算极限

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%5.计算极限

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% limit(f,x,a): 计算f(x)当x趋向于a的极限

% limit(f,a): 当默认变量趋向于 a 时的极限

% limit(f): 计算 a=0 时的极限

% limit(f,x,a,'right'): 计算右极限

% limit(f,x,a,'left'): 计算左极限

% 例：计算

syms x h n;

L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)

% L =

% 1/x

M=limit((1-x/n)^n,n,inf)

% M =

% exp(-x)

%% 计算导数

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%6.计算导数

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数

% g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数

% g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数

syms x;

f=sin(x)+3*x^2;

g=diff(f,x)

% g =

% cos(x)+6*x

%%计算积分

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%7.计算积分

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% int(f,v,a,b): 计算定积分f(v)从a到b

% int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分

% int(f,v): 计算不定积分f(v)

% int(f): 计算关于默认变量的不定积分

f=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)^2;

I=int(f,x)

% I =

% 3/2*atan(x-1)+1/4*(2*x-6)/(x^2-2*x+2)

K=int(exp(-x^2),x,0,inf)

% K =

% 1/2*pi^(1/2)

%%函数运算

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%8.函数运算

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 1．合并、化简、展开等函数

% collect函数：将表达式中相同幂次的项合并；

% factor函数：将表达式因式分解；

% simplify函数：利用代数中的函数规则对表达式进行化简；

% numden函数：将表示式从有理数形式转变成分子与分母形式。

% 2．反函数

% finverse(f,v) 对指定自变量为v的函数f(v)求反函数

% 3．复合函数

% compose(f,g) 求f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(y))

% compose(f,g,z) 求 f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(z))

% 4．表达式替换函数(前面讲到了)

% subs(s)用赋值语句中给定值替换表达式中所有同名变量

% subs (s, old, new) 用符号或数值变量new替换s中的符号变量old

%%

% mtaylor(f,n) —— 泰勒级数展开

% ztrans(f) —— Z变换

% Invztrans(f) —— 反Z变换

% Laplace(f) —— 拉氏变换

% Invlaplace(f) —— 反拉氏变换

% fourier(f) —— 付氏变换

% Invfourier(f) —— 反付氏变换

%%

clear

f1 =sym('(exp(x)+x)*(x+2)');

f2 = sym('a^3-1');

f3 = sym('1/a^4+2/a^3+3/a^2+4/a+5');

f4 = sym('sin(x)^2+cos(x)^2');

collect(f1)

% ans =

% x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)

expand(f1)

% ans =

% exp(x)*x+2*exp(x)+x^2+2*x

factor(f2)

% ans =

% (a-1)*(a^2+a+1)

[m,n]=numden(f3)

%m为分子，n为分母

% m =

% 1+2*a+3*a^2+4*a^3+5*a^4

% n =

% a^4

simplify(f4)

% ans =

% 1

clear

syms x y

finverse(1/tan(x)) %求反函数，自变量为x

% ans =

% atan(1/x)

f = x^2+y;

finverse(f,y) %求反函数，自变量为y

% ans =

% -x^2+y

clear

syms x y z t u;

f = 1/(1 + x^2); g = sin(y); h = x^t; p = exp(-y/u);

compose(f,g) %求f = f(x) 和 g = g(y)的复合函数f(g(y))

% ans =

% 1/(1+sin(y)^2)

clear

syms a b

subs(a+b,a,4) %用4替代a+b中的a

% ans =

% 4+b

subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2}) %多重替换

% ans =

% cos(alpha)+sin(2)

f=sym('x^2+3*x+2')

% f =

% x^2+3*x+2

subs(f, 'x', 2)%求解f当x=2时的值

% ans =

% 12

%% 方程求解

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%9.方程求解

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 1代数方程

% 代数方程的求解由函数solve实现：

% solve(f) 求解符号方程式f

% solve(f1,…,fn) 求解由f1,…,fn组成的代数方程组

%

% 2常微分方程

% 使用函数dsolve来求解常微分方程：

% dsolve('eq1, eq2, ...', 'cond1, cond2, ...', 'v')

clear

syms a b c x

f=sym('a*x*x+b*x+c=0')

solve(f)

% ans =

% [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*c*a)^(1/2))]

% [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*c*a)^(1/2))]

solve('1+x=sin(x)')

% ans =

% -1.9345632107520242675632614537689

dsolve( ' Dy=x ','x')%求微分方程y'=x的通解，指定x为自变量。

% ans =

% 1/2*x^2+C1

dsolve(' D2y=1+Dy ','y(0)=1','Dy(0)=0' ) %求微分方程y''=1+y'的解，加初始条件

% ans =

% -t+exp(t)

[x,y]=dsolve('Dx=y+x,Dy=2*x')%微分方程组的通解

% x =

% -1/2*C1*exp(-t)+C2*exp(2*t)

% y =

% C1*exp(-t)+C2*exp(2*t)

% ezplot(y)方程解y(t)的时间曲线图

%% funtool

funtool %该命令将生成三个图形窗口，Figure No.1用于显示函数f的图形，

% Figure No.2用于显示函数g的图形，

% Figure No.3为一可视化的、可操作与显示一元函数的计算器界面。

% 在该界面上由许多按钮，可以显示两个由用户输入的函数的计算结果：

% 加、乘、微分等。funtool还有一函数存储器，允许用户将函数存入，

% 以便后面调用。在开始时，

% funtool显示两个函数f(x) = x与g(x) = 1在区间[-2*pi, 2*pi]上的图形。

% Funtool同时在下面显示一控制面板，

% 允许用户对函数f、g进行保存、更正、重新输入、联合与转换等操作。

%% taylortool %该命令生成一图形用户界面，显示缺省函数f=x*cos(x)

% 在区间[-2*pi，2*pi]内的图形，同时显示函数f

% 的前N=7项的Taylor多项式级数和(在a=0附近的)图形，

% 通过更改f(x)项可得不同的函数图形。

% taylortool('f') %对指定的函数f，用图形用户界面显示出Taylor展开式

%% maple内核访问函数

%

% 可以访问maple内核的matlab函数:

% maple ——— 访问maple内核函数

% mapleinit —— maple函数初始化

% mpa ———— maple函数定义

% mhelp ——— maple函数帮助命令

% procread —— maple函数程序安装

% 具体的操作参看相关说明