文章目录

初等数论基础（二）
建议先看
零、同余与逆元的概念
- 0.1 同余
- 0.2 逆元概念
- - 0.2.1 逆元的求法
一、数论只会gcd
- 1.1 gcd
- - 1.1.1 (a,b) = (a,a+b) 的证明
  - 1.1.2 (a,b) = (b,a%b)的证明
  - 辗转相除法代码：
  - 辗转相除法时间复杂度
- 1.2 当然还会exgcd
- - 1.2.1 裴蜀定理
  - 1.2.2 ax+by = gcd(a,b)的求解
二、欧拉相关
- 2.1 欧拉函数
- 2.2 欧拉定理相关
- - 2.2.1 欧拉定理与费马小定理
  - - 2.2.1.1 欧拉定理
    - 2.2.1.2 费马小定理
    - 2.2.1.3 乘法逆元
  - 2.2.2 扩展欧拉定理
  - 2.2.3 光速幂
三、同余方程相关与逆元求解
- 3.1 线性同余方程
- - 3.1.2 威尔逊定理
- 3.2 逆元求解
- - 3.2.1 exgcd求逆元
  - 3.2.2 快速幂求逆元
- 3.3 中国剩余定理（CRT）
参考

初等数论基础（二）

建议先看

初等数论基础（一)~

零、同余与逆元的概念

本来想直接记逆元的，但是发现初等数论基础一没有讲同余，于是先给出同余的概念：

0.1 同余

同余：若整数a和整数b除以m的余数相等，则称a,b模m同余，记为
a≡b(modm)a \equiv b(mod \quad m)a≡b(modm)
对于同余的概念需要掌握，另外有关于同余类和剩余系的概念，了解即可：

其实同余类和离散数学的等价类类似。
另外：同余具有传递性，也可以做加减：

0.2 逆元概念

对于正整数a和m,如果有am与1在模m意义下同余，那么这个同余方程中x的最小正整数解叫做a%m的逆元
注：逆元与乘法逆元不一样，除乘法逆元外还有加法逆元、卷积逆元、矩阵逆元等。
若
ax≡1(modb),则称x是a关于模b的逆元ax\equiv 1(mod\quad b),则称x是a关于模b的逆元 ax≡1(modb),则称x是a关于模b的逆元
一般把一个数a的逆元记为a−1一般把一个数a的逆元记为a^{-1}一般把一个数a的逆元记为a−1

0.2.1 逆元的求法

1.exgcd求逆元
2.如果m是质数，可以通过快速幂求逆元(费马小定理）
3.如果模数是素数，可以O(n) 线性递推求逆元

方法1和方法2将在后面的内容中讲到，读者往后看即可，这里先给出第三种方法，线性递推求逆元

首先定义1的逆元是1，因为1显然与1同余

于是有代码：

typedef long long ll;
inv[i] = (1ll*(p-p/i)*inv[p%i])%p;

一、数论只会gcd

1.1 gcd

1.1.1 (a,b) = (a,a+b) 的证明

(a,a) = (a,0) = a（显然）
(a,b) = (a,a+b)  = (a,ka+b)

(a,b) = (b,a%b)

1.1.2 (a,b) = (b,a%b)的证明

也叫辗转相除法

注意：gcd(a,b) = 1说明a和b互质。
另外：gcd(1,1) = 1,gcd(a,0) = a,gcd(a,1) = 1

辗转相除法代码：

ll gcd(ll a,ll b)
{return b?gcd(b,a%b):a;
}
//或者写成
ll gcd(ll a,ll b)
{if(b==0){return a;}return gcd(b,a%b);
}

辗转相除法时间复杂度

只知道是小于log2(b)的呜呜呜
小于log2(b) 很好证：
只需要证a%b<b/2就可以了

1.2 当然还会exgcd

啥？除了gcd还有exgcd？？？？
在欧几里得求得gcd(a,b)以后，大家并不满足，于是好奇一个方程的解：
ax+by=gcd(a,b)已知a,b,求一组x,y使得方程成立ax+by = gcd(a,b) \\已知a,b,求一组x,y使得方程成立 ax+by=gcd(a,b)已知a,b,求一组x,y使得方程成立
在将这个方程的解之前需要介绍裴蜀定理：

1.2.1 裴蜀定理

∀a,b,∃x,ys.t.ax+by=gcd(a,b)\forall a,b ,\exists x,y \quad s.t. \quad ax+by = gcd(a,b) ∀a,b,∃x,ys.t.ax+by=gcd(a,b)
哈，其实就是说1.2的方程一定是有解的

1.2.2 ax+by = gcd(a,b)的求解

先构造：
显然当b = 0时，有x = 1,y = 任意值(一般写成0)
对于b!=0的情况：

只要每次先把(2)式求出，那么(1)式的解也能出来了:)
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5+10;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(!b){x = 1,y = 0;return a;}int d = exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{int n;cin>>n;while(n--){int a,b,x,y;cin>>a>>b;exgcd(a,b,x,y);cout<<x<<' '<<y<<endl;}return 0;
}

这里给出例题:)例题链接

分析：题目要求ax+by=c的解:
令d = gcd(a,b)，显然只有c%d==0即d|c时该方程有解。
我们通过exgcd先求出ax+by=d的一组特解x0,y0,然后该方程的一组特解x1,y1通过x0，y0分别乘上c/d即可得到
而通解如何求解呢？
显然可以通过先求得的特解推通解，k是任意整数，显然加号和减号的位置可以互相交换。

二、欧拉相关

2.1 欧拉函数

详细定义见：初等数论基础一

2.2 欧拉定理相关

2.2.1 欧拉定理与费马小定理

2.2.1.1 欧拉定理

记为：

说人话就是：对于任意a与n互质，即有a的φ(n)次方与1在模n意义下同余。
例:
φ(7)=6,3φ(7)=36%7≡1(mod7)\varphi(7) = 6,\quad 3^{\varphi(7)} = 3^6\%7 \equiv1(\mod 7) φ(7)=6,3φ(7)=36%7≡1(mod7)

2.2.1.2 费马小定理

2.2.1.3 乘法逆元

例题：例题链接
容易发现，费马小定理就是欧拉定理的特殊情况。

2.2.2 扩展欧拉定理

引申：
若b>φ(n),则ab≡ab%φ(n)+φ(n)(modn)若b>\varphi(n),则a^b \equiv a^{b\%\varphi(n)+\varphi(n)}( mod \quad n) 若b>φ(n),则ab≡ab%φ(n)+φ(n)(modn)
例题：
最幸运的数字

2.2.3 光速幂

例题：P5110

三、同余方程相关与逆元求解

3.1 线性同余方程

例题：线性同余方程

所以，当线性同余方程有解时只需要先用exgcd求解
ax+my=gcd(a,m)，得到一组特解x0,y0然后x=x0∗b/gcd(a,m)即是原线性同余方程的一个解。ax+my = gcd(a,m)，得到一组特解x0,y0\\ 然后x = x0*b/gcd(a,m)即是原线性同余方程的一个解。 ax+my=gcd(a,m)，得到一组特解x0,y0然后x=x0∗b/gcd(a,m)即是原线性同余方程的一个解。
容易发现：
线性同余方程ax≡b(modm)即转化为ax+my=b，然后通过exgcd求解ax\equiv b(mod\quad m)\\即转化为ax+my=b，然后通过exgcd求解ax≡b(modm)即转化为ax+my=b，然后通过exgcd求解
例题链接

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
ll a,b,x,y;ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{if(!b){x = 1,y = 0;return a;}ll d = exgcd(b,a%b,y,x);y -= a/b*x;return d;
}
int main()
{ll a,b,x,y;cin>>a>>b;exgcd(a,b,x,y);cout<<(x%b+b)%b;
}

3.1.2 威尔逊定理

(p-1)的阶乘在模p意义下与-1同余。
(p−1)!≡−1(modp)(p-1)!\equiv -1(mod\quad p)(p−1)!≡−1(modp)

3.2 逆元求解

3.2.1 exgcd求逆元

我们知道：若ax≡1(modb)ax\equiv 1(mod\quad b)ax≡1(modb),则由线性同余方程可以转化为
ax+by=1ax+by=1ax+by=1
那么可以直接调用扩展欧几里得算法求逆元。

3.2.2 快速幂求逆元

如果b为质数，则φ(b)=b−1再由欧拉定理：∴ab−1≡1(modb)∵a∗ab−2=ab−1∴a在模b意义下的逆元就是ab−2\varphi(b)=b-1\\再由欧拉定理：\\ \therefore a^{b-1} \equiv 1(mod\quad b)\\ \because a*a^{b-2} = a^{b-1}\\ \therefore a在模b意义下的逆元就是a^{b-2}φ(b)=b−1再由欧拉定理：∴ab−1≡1(modb)∵a∗ab−2=ab−1∴a在模b意义下的逆元就是ab−2
于是可以快速幂求啦！

3.3 中国剩余定理（CRT）

中国剩余定理是干嘛的呢？

例如解以下方程组：

参考

《算法竞赛进阶指南》
大佬博客
这位大佬的博客激励我继续前进
关于同余的传递性和加减法的证明

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