第1章匹配滤波器

第1章 匹配滤波器

在雷达发展的初期，普遍地采用信噪比作为衡量雷达接收机抗干扰性能的准则。对于一定的输入信号和噪声而言，给出输出信噪比大的系统一般说来(并非永远如此)要比给出信噪比小的系统为好。最大信噪比准则，是指输出信号在某一时刻瞬时功率对噪声平均功率之比达到最大。在雷达情形里，从荧光屏上观测到的回波是回波信号与噪声的混合(有回波信号存在时)，或仅为噪声(无信号时)。当我们所关心的问题是根据回波来判断信号是否存在时，显然，最有利的情形是：在观测时刻，信号瞬时功率对噪声平均功率之比达到最大。

1943年到North从最大信噪比准则出发，建立了匹配滤波器理论。匹配滤波器就是这样一种线性滤波器，在所有的线性滤波器中，在它的输出端能给最大的信号噪声功率比。

§1.1 白噪声下的匹配滤波器

图1.1-1线性滤波器

设加到线性滤波器输入端的是信号与噪声的混合波形。如图1.1-1所示。 (1.1-1)

其中输入信号为已知函数，具有能量和频谱 (1.1-2) (1.1-3)

为输入相加噪声的一个样本函数。设输入噪声为平稳白噪声，它的功率谱密度为。相关函数为 (1.1-4)

我们已经规定，滤波器是线性系统，它满意迭加原理。因而，可得到滤波器的输出为： (1.1-5)

其中是输出的信号部分，它仅由输入信号决定。 (1.1-6a)

或 (1.1-6b)

是输出的噪声部分，它仅由输入噪声决定。 (1.1-7)

是滤波器的脉冲响应，是它的传输函数。

输出噪声也是平稳随机过程。这是因为，平稳随机过程通过线性系统之后，仍为平稳随机过程。输出噪声的相关函数为 (1.1-8)

它只与时间差值有关，而与时刻本身无关。实际上，输出噪声的平稳性已经决定了这一点。从上式还可看出，输出噪声已不再为白噪声了。

求解白噪下的匹配滤波器，可以在时域进行，也可在频域进行。考虑到频域中的许多概念更为大家所熟悉，在本教材中，介绍频域求解方法。这有助于深入理解匹配滤波器的工作机理。

1.1-1 保证输出最大信噪比的线性滤波器——匹配滤波器

图1.1-1中，在任意时刻，输出噪声为一随机变量，它的统计平均功率正比于 (1.1-9)

可见，噪声的平均功率是一常数，与时间无关。

另一方面，假定滤波器输出信号的峰值出现在时刻，记为，它是一个确定量。 (1.1-10)

此时，输出信号的瞬时功率为 (1.1-11)

我们定义滤波器输出端的瞬时功率信噪比(下面简称为信噪比)为 (1.1-12)

将式1.1-9和1.1-11代入上式，得到 (1.1-13)

前面已经提到，当我们关心的问题是根据对回波的观测来判断信号是否存在时(例如雷达)，最有利的情形是：在观测时刻，信号的瞬时功率对噪声的平均功率之比达到最大。以此为标准来设计最佳线性滤波器，就是最大信噪比准则。于是，寻求保证最大输出信噪比的线性滤波器，在数学上便归结为求解使式(1.1-13)达到最大值的线性滤波器的传输函数。这是一个泛函求极值的问题，可以用变分法解决，也可用schwarz不等式解决。下面我们用schwarz不等式求解。

根据schwarz不等式

式中都是实变量的复函数。表示复共轭。当

(1.1-15)

时，式1.1-14的等号成立。C为任意的非零复常数。

我们令

将schwarz不等式用于式(1.1-13)的分子，并注意到关系式

于是，可以得到 (1.1-16)

根据Parseval定理，有 (1.1-17)

式中为输入信号的能量。将上式代入式(1.1-16)，可得 (1.1-18)

上式给出了平稳白噪声下，线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 (1.1-19)

下面，我们来求能给出最大输出信噪比的线性滤波器的传输函数。

根据schwarz不等式中等号成立的条件式(1.1-15)，可得到，不等式(1.1-16)之等号成立的条件是 (1.1-20a)

上式给出了的表达式。它表明，除了复常数和线性相位因子外，正好是的复共轭。这个结果可陈述如下：当线性滤波器的传输函数为输入信号频谱的复共轭时，该滤波器可以给出最大的输出信噪比。我们把这个复共轭现象称之为“匹配”，称这种线性滤波器为匹配滤波器。

最后，我们讨论一下常数。表示匹配滤波器的相对放大量和引入的固定相位移。对于匹配滤波器来说，重要的是它的传输函数的形状，而不是此传输函数的相对大小以及它的固定相移。为了简化运算而又不影响分析的一般性，在以后的讨论中，都令，即

匹配滤波器的概念在信号检测理论中起着重要的和基本的作用，匹配滤波理论是信号检测理论中的特别重要的一个论题。为了更好地理解和应用匹配滤波理论，下面，有必要对匹配滤波器的某些性质作进一步的阐述和讨论。

1.1-2 匹配滤波器的若干性质

1．在所有线性滤波器中，匹配滤波在其输出能给出最大的信噪比，其数值等于。

2．匹配滤波器的输