【GDOI模拟】屏保

Description

你最近安装了一个新的屏幕保护程序，如果你离开键盘5 分钟，屏保将会显

示一个有热带鱼的水族馆，水族馆的底端是由沙石形成的供鱼玩耍的地方，沙石

的高度可以设置，水位也可以设置。

水族馆可以看做是一个二维平面，宽看作N-1 列，最左端的横坐标为0，最

右端横坐标为N-1，每个整数横坐标都对应着一个沙石的高度H_i(0<=i<=N-1)，

相邻横坐标i 和i+1 之间的沙石可以看做是由(i,H_i)和(i+1,H_i+1)这两个点形成

的线段。

如果水位为h，水覆盖着水族馆底端到y=h 这个区域，如果有部分沙石在水

面以上，这部分形成一个岛屿。

对于不同的沙石情况，你想知道被水覆盖区域的面积，即水位以下总面积减

去水中沙石的面积。

Solution

几何题？

开始以为这是一道几何题，然而只是一道代数几何题……
相邻的h之间都存在的一个梯形(或者没有)，我们需要求当水漫到水位为x时，覆盖的面积。
怎么求？

分而治之

初中代数几何题做多了，看到这种题就想到了分类讨论。
假设x=h[i-1]，y=h[i]，如果x>y就调换。（因为要求的面积是正数）
1、如果当前的水位p≤x，那么覆盖的面积为0。
2、如果当前的水位x≤p≤y，那么覆盖的面积为(用一下三角形相似)p2−2∗p∗x+x22∗(y−x){p^2-2*p*x+x^2}\over{2*(y-x)}。
3、如果当前的水位y≤p，那么覆盖的面积为p−y−x2+yp-{{y-x}\over{2}}+y。

维护——树状数组

发现最多只是一元二次方程，而且只用求和运算，修改也只是单点修改，那么放到树状数组上面最方便了。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=200007;
int i,j,k,l,t,n,m,ans,h[maxn];
double ta[maxn],tb[maxn],tc[maxn],z;
char s[10];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(double *x,int y,double z){while(y<=1100){x[y]+=z;y+=lowbit(y);}
}
double get(double *x,int y){double u=0;while(y>0){u+=x[y];y-=lowbit(y);}return u;
}
double chu(double x,double y){if(y==0)return 0;else return x/y;}
void change(int x,int y,int z){if(x>y)swap(x,y);add(ta,x+1,z*chu(1,(2*y-2*x)));add(tb,x+1,z*chu(-x,(y-x)));add(tc,x+1,z*chu(x*x,(2*y-2*x)));add(ta,y+1,(-1)*z*chu(1,(2*y-2*x)));add(tb,y+1,(-1)*z*chu(-x,(y-x)));add(tc,y+1,(-1)*z*chu(x*x,(2*y-2*x)));add(tb,y+1,1*z);add(tc,y+1,z*(chu((y-x),2)-y));
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);fo(i,1,n)scanf("%d",&h[i]);fo(i,2,n){change(h[i-1],h[i],1);}fo(t,1,m){scanf("%s%d",s,&k);if(s[0]=='Q'){z=get(ta,k)*k*k+get(tb,k)*k+get(tc,k);printf("%.3f\n",z);}else{scanf("%d",&l);k++;if(k!=1)change(h[k],h[k-1],-1);if(k!=n)change(h[k],h[k+1],-1);h[k]=l;if(k!=1)change(h[k],h[k-1],1);if(k!=n)change(h[k],h[k+1],1);}}
}