每日一题/004/矩阵/矩阵问题转化为线性方程组问题

2024-05-07 20:02:56

题目：
现有 nnn 阶矩阵 AAA，证明：
R(An)=R(An+1)R(A^n)=R(A^{n+1})R(An)=R(An+1)

参考答案：
如果 R(A)=0R(A)=0R(A)=0,显然有 R(An)=R(An+)R(A^n)=R(A^{n+})R(An)=R(An+)，以下讨论时均认为 R(A)>0R(A)>0R(A)>0.
原命题转化为几个小命题来证明。

命题一： R(An)=R(An+1)R(A^n)=R(A^{n+1})R(An)=R(An+1)，等价于齐次线性方程组 AnX=0A^nX=0AnX=0 , An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 同解:

如果齐次线性方程组 AnX=0A^nX=0AnX=0 与 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 通解，那么根据 矩阵的秩 与 解空间维数 的关系，显然有 R(An)=R(An+1)R(A^n)=R(A^{n+1})R(An)=R(An+1)

另一方面，显然有 AnX=0A^nX=0AnX=0 的解都是 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 的解。如果有 R(An)=R(An+1)R(A^n)=R(A^{n+1})R(An)=R(An+1)，那么根据 矩阵的秩 与 解空间维数 的关系，那么 AnX=0A^nX=0AnX=0 与 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 解空间的维数也是相同的。如果有解满足 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0，但不满足 AnX=0A^nX=0AnX=0，那么前者解空间的维数就大于后者的维数，矛盾。

注释：AnX=0A^nX=0AnX=0 的解都是 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 这是在任何环境下都成立的。如果R(An)=R(An+1)R(A^n)=R(A^{n+1})R(An)=R(An+1)，那么 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 的解也都是 AnX=0A^nX=0AnX=0 的解，

命题二：如果 AnX0=0A^{n}X_0=0AnX0=0，那么 AX0,A2X0,⋯,AnX0AX_0,A^2X_0,\cdots,A^nX_0AX0,A2X0,⋯,AnX0 线性无关

证明：
设
a1AX+a2A2X+⋯+anAnX=0a_1AX+a_2A^2X+\cdots+a_nA^nX=0a1AX+a2A2X+⋯+anAnX=0

两边同左乘 An−1A^{n-1}An−1 ，得

a1AnX+a2An+1X+⋯+anA2n−1X=a1AnX=0a_1A^nX+a_2A^{n+1}X+\cdots+a_nA^{2n-1}X=a_1A^nX=0a1AnX+a2An+1X+⋯+anA2n−1X=a1AnX=0

那么就有 a1=0a_1=0a1=0,同理，a2=a3=⋯=an=0a_2=a_3=\cdots=a_n=0a2=a3=⋯=an=0

所以 AX,A2X,⋯,AnXAX,A^2X,\cdots,A^nXAX,A2X,⋯,AnX 线性无关。

命题三：AnX=0A^nX=0AnX=0 与 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 同解

一方面，显然 AnX=0A^nX=0AnX=0 的解都是 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 的解.

另一方面,（反证法）如果存在解 X0X_0X0 使得 AnX0≠0A^nX_0\ne0AnX0=0,An+1X0=0A^{n+1}X_0=0An+1X0=0,那么 AX0,AX02,⋯,AX0nAX_0,AX_0^2,\cdots,AX_0^nAX0,AX02,⋯,AX0n 是 AnX=0A^nX=0AnX=0 的 nnn 个线性无关的解。

又因为 R(A)>0R(A)>0R(A)>0，所以 AnX=0A^nX=0AnX=0 的解空间的维数小于 nnn ，矛盾。

所以 AnX=0A^nX=0AnX=0 与 An+1X=0A^{n+1}X=0An+1X=0 同解

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