L2：Abbott隐式格式有限差分法解一维明渠非恒定流

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连续方程：

$\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial x}=0$

动量方程：

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+g\frac{\partial h}{\partial x}+g(S_{f}-S_{0})=0$

1.定义用于连续方程的蓄存宽度 $B_{s}$ 和用于运动方程的计算宽度B（B不太理解）

$A = B_{s}*h$

改写方程组（不理解为什么 $S_{0}$ 被省略了）

$B_{s}\frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial x}=0$

$\frac{\partial Q}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\alpha Q^{2} }{A}\right )+gA\frac{\partial h}{\partial x}+\frac{gQ\left | Q \right |}{C^{2}AR_{h}}=0$

其中 $\alpha =\frac{A}{Q^{2}}\int_{A}^{}u^{2}dA$ ，C为谢才（chezy）系数，Rh为水力半径。

复习曼宁公式、谢才公式

管渠沿程水头损失常用谢才公式计算

$h_{l}=\frac{v^{2}}{C^{2}R}l$

R为过水断面水力半径，C为谢才系数，l为管渠长度

曼宁引入粗糙系数n，计算谢才系数C，适用于明渠、非满管流或较粗糙的管道水力计算。

$C=\frac{1}{n}R^{\frac{1}{6}}$

代入谢才公式

$h_{l}=\frac{n^{2}v^{2}}{R^{\frac{4}{3}}}l$

2.链式法则

$\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\alpha Q^{2} }{A}\right )=\frac{2\alpha Q}{A}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\alpha Q^{2}}{A}\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{Q^{2}}{A}\frac{\partial \alpha }{\partial h}\frac{\partial h}{\partial x}$

其中 $\frac{\partial Q}{\partial x}=-B_{s}\frac{\partial h}{\partial t}$

引入计算宽度B，令A=Bh

$\frac{\partial A}{\partial x}=B\frac{\partial h}{\partial x}+h\frac{dB}{dh}\frac{\partial h}{\partial x}$

代入运功方程就写成

3.离散方式

在每个节点按顺序交错算出Q或h

连续方程

连续方程的差分形式( $D_{i}$ 应写作 $D_{1}$ )

运动方程

运动方程的差分形式

以上D1、D2、D3、D4都取t=(n+1/2)Δt的值

4.简化方程组，写作Ax+By+Cz=D的形式

上标表示t，下标表示x，假设时间步长均匀有单位步长Δt，空间步长（节点距离）不均匀。

连续方程

$A_{j}^{*}Q_{j+1}^{n+1}+B_{j}^{*}h_{j}^{n+1}+C_{j}^{*}Q_{j-1}^{n+1}=D_{j}^{*}$

$A_{j}^{*}=\frac{1}{2\left ( x_{j+1}-x_{j-1} \right )}$

$B_{j}^{*}=\frac{D_{1}}{\Delta t}$

$C_{j}^{*}=-\frac{1}{2\left ( x_{j+1}-x_{j-1} \right )}$

$D_{j}^{*}=\frac{D_{1}}{\Delta t}h_{j}^{n}-\frac{1}{2\left ( x_{j+1}-x_{j-1} \right )}Q_{j+1}^{n}+\frac{1}{2\left ( x_{j+1} -x_{j-1}\right )}Q_{j-1}^{n}$

动量方程

个人理解应为

$A_{j-1}^{}h_{j}^{n+1}+B_{j-1}^{}Q_{j-1}^{n+1}+C_{j-1}^{}h_{j-2}^{n+1}=D_{j-1}^{}$

$A_{j-1}=-\frac{D_{2}}{\Delta t}\frac{x_{j-1}-x_{j-2}}{x_{j}-x_{j-2}}-\frac{D_{3}}{2(x_{j}-x_{j-2})}$

$B_{j-1}^{}=D_{4}\left | Q_{j-1}^{n} \right |+\frac{1}{\Delta t}$

$C_{j-1}^{}=-\frac{D_{2}}{\Delta t}\frac{x_{j}-x_{j-1}}{x_{j}-x_{j-2}}+\frac{D_{3}}{2\left ( x_{j}-x_{j-2} \right )}$

$D_{j-1}=\frac{1}{\Delta t}Q_{j-1}^{n}-(\frac{D_{2}}{\Delta t}\frac{x_{j}-x_{j-1}}{x_{j}-x_{j-2}}+\frac{D_{3}}{2(x_{j}-x_{j-2})})h_{j-2}^{n}-(\frac{D_{2}}{\Delta t}\frac{x_{j-1}-x_{j-2}}{x_{j}-x_{j-2}}-\frac{D_{3}}{2(x_{j}-x_{j-2})})h_{j}^{n}$

5.假设Q、h在空间上顺序交错求解

$h_{j+1}^{n+1}=E_{j}Q_{j}^{n+1}+F_{j}$

$Q_{j+1}^{n+1}=E_{j}^{*}h_{j}^{n+1}+F_{j}^{*}$

代入上一步的简化方程

连续方程

$A_{j}^{*}E_{j}^{*}h_{j}^{n+1}+B_{j}^{*}h_{j}^{n+1}+C_{j}^{*}Q_{j-1}^{n+1}=D_{j}^{*}-A_{j}^{*}F_{j}^{*}$

$h_{j}^{n+1}=\frac{-C_{j}}{A_{j}^{*}E_{j}^{*}+B_{j}^{*}}Q_{j-1}^{n+1}+\frac{D_{j}^{*}-A_{j}^{*}F_{j}^{*}}{A_{j}^{*}E_{j}^{*}+B_{j}^{*}}$

运动方程

$A_{j-1}E_{j-1}Q_{j-1}^{n+1}+B_{j-1}^{}Q_{j-1}^{n+1}+C_{j-1}^{}h_{j-2}^{n+1}=D_{j-1}^{}$

$Q_{j-1}^{n+1}=\frac{-C_{j-1}}{A_{j-1}E_{j-1}+B_{j-1}}h_{j-2}^{n+1}+\frac{D_{j-1}-A_{j-1}F_{j-1}}{A_{j-1}E_{j-1}+B_{j-1}}$

形式同假设，因此

$E_{j-1}=\frac{-C_{j}^{*}}{A_{j}^{*}E_{j}^{*}+B_{j}^{*}}$ , $F_{j-1}=\frac{D_{j}^{*}-A_{j}^{*}F_{j}^{*}}{A_{j}^{*}E_{j}^{*}+B_{j}^{*}}$

$E_{j-2}^{*}=\frac{-C_{j-1}}{A_{j-1}E_{j-1}+B_{j-1}}$ , $F_{j-2}^{*}=\frac{D_{j-1}-A_{j-1}F_{j-1}}{A_{j-1}E_{j-1}+B_{j-1}}$

6.边界条件

假设x=J处流量Q给定，则最后一个方程是

$A_{j-1}^{*}Q_{j}^{n+1}+B_{j-1}^{*}h_{j-1}^{n+1}+C_{j-1}^{*}Q_{j-2}^{n+1}=D_{j-1}^{*}$

可得， $h_{j-1}^{n+1}=\frac{-C_{j-1}^{*}}{B_{j-1}^{*}}Q_{j-2}^{n+1}+\frac{D_{j-1}^{*}-A_{j-1}^{*}Q_{j}^{n+1}}{B_{j-1}^{*}}$

又 $h_{j}^{n+1}=\frac{-C_{j}}{A_{j}^{*}E_{j}^{*}+B_{j}^{*}}Q_{j-1}^{n+1}+\frac{D_{j}^{*}-A_{j}^{*}F_{j}^{*}}{A_{j}^{*}E_{j}^{*}+B_{j}^{*}}$

可得， $h_{j-1}^{n+1}=\frac{-C_{j-1}^{*}}{A_{j-1}^{*}E_{j-1}^{*}+B_{j-1}^{*}}Q_{j-2}^{n+1}+\frac{D_{j-1}^{*}-A_{j-1}^{*}F_{j-1}^{*}}{A_{j-1}^{*}E_{j-1}^{*}+B_{j-1}^{*}}$

两式系数相比较，可得

$E_{j-1}^{*}=0$ ， $F_{j-1}^{*}=Q_{j}^{n+1}$

类似的，如果边界x=J处水深给定，则

$E_{j-1}^{}=0$ ， $F_{j-1}=h_{j}^{n+1}$

7.追赶法

假设x=J处边界条件Q给定，即已知 $Q_{j}^{n+1}$

根据 $E_{j-1}^{*}=0$ ， $F_{j-1}^{*}=Q_{j}^{n+1}$ ，可得 $E_{j-1}^{*}$ ， $F_{j-1}^{*}$

又根据4.简化方程组-连续方程，可得 $A_{j-1}^{*}$ ， $B_{j-1}^{*}$ ， $C_{j-1}^{*}$ ，但 $D_{j-1}^{*}=f\left ( h_{j-1}^{n}, Q_{j}^{n},Q_{j-2}^{n}\right )$ （不会求）

根据 $E_{j-1}=\frac{-C_{j}^{*}}{A_{j}^{*}E_{j}^{*}+B_{j}^{*}}$ , $F_{j-1}=\frac{D_{j}^{*}-A_{j}^{*}F_{j}^{*}}{A_{j}^{*}E_{j}^{*}+B_{j}^{*}}$ ，可得 $E_{j-2},F_{j-2}$

又根据4.简化方程组-运动方程，D1、D2、D3、D4都取t=(n+1/2)Δt的值（不会求），再求得 $A_{j-1},B_{j-1},C_{j-1}$ ，但 $D_{j-1}=f\left ( Q_{j-2}^{n},h_{j-3}^{n},h_{j-1}^{n} \right )$ (不会求)

根据 $E_{j-2}^{*}=\frac{-C_{j-1}}{A_{j-1}E_{j-1}+B_{j-1}}$ , $F_{j-2}^{*}=\frac{D_{j-1}-A_{j-1}F_{j-1}}{A_{j-1}E_{j-1}+B_{j-1}}$ ，可得 $E_{j-3}^{*},F_{j-3}^{*}$

假设另一边界为h，即已知 $h_{0}^{n+1}$

追的过程： $Q_{j}^{n+1}$ → $E_{j-1}^{*}$ ， $F_{j-1}^{*}$ → $E_{j-2},F_{j-2}$ → $E_{j-3}^{*},F_{j-3}^{*}$ →......→ $E_{0}^{*},F_{0}^{*}$

根据 $Q_{j+1}^{n+1}=E_{j}^{*}h_{j}^{n+1}+F_{j}^{*}$ , $h_{j+1}^{n+1}=E_{j}Q_{j}^{n+1}+F_{j}$

赶的过程： $h_{0}^{n+1}$ → $Q_{1}^{n+1}$ → $h_{2}^{n+1}$ →......→ $Q_{j}^{n+1}$

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