弯曲时空量子场论的历史与现状 (上)

作者：Robert M. Wald

译者序：本文译自 Robert M. Wald 的 "The History and Present Status of Quantum Field Theory in Curved Spacetime"，这是 Wald 向第七届广义相对论历史国际会议 (7th International Conference on the History of General Relativity, 2006) 提交的文稿。弯曲时空量子场论研究的是经典背景时空 (即经典引力场) 中的量子场。这一理论具有先天的不足，它既不包括量子引力效应，也未 (哪怕在平均意义上) 考虑量子场对经典时空的影响 (考虑了这种影响的理论被称为半经典引力理论)，因此不是一个基础理论 (有些作者将半经典引力理论也并入弯曲时空量子场论之中，即便这样，它也依然不是一个基础理论)，而且也不是一个热门领域。尽管如此，这一领域的某些经典工作 - 比如 Unruh 效应、 Hawking 辐射等 - 对于深入理解量子引力的某些特征具有重要的价值；此外，超弦理论的某些进展使人们对 de Sitter 及 anti-de Sitter 时空中的量子场论产生了较大的兴趣。这些都在一定程度上维系了人们对这一领域的兴趣，使之多年以来始终冷而不寂。本文的作者 Wald 是长期从事这一领域研究的学者，也是国际知名的广义相对论专家。本译文略去了原文中的摘要及参考文献。

1. 引论

弯曲时空量子场论是有关量子场在弯曲经典时空中传播的理论。这里时空 - 依据广义相对论 - 由一个其上定义了 Lorentz 度规 g_ab 的流形 M 所描述。为了保证经典动力学在 (M, g_ab) 上有良好的定义，我们把注意力集中在 (M, g_ab) 全局双曲的情形下 [译者注：有关全局双曲的定义可参阅拙作 “奇点与奇点定理简介” 的第四节]。在弯曲时空量子场论的框架内，量子场对时空几何的反作用可以通过半经典 Einstein 方程 G_ab = 8π<T_ab> 来体现。不过，在这里我将不考虑与反作用有关的问题，因此在下文中 (M, g_ab) 可以看作是任意给定的全局双曲时空。

本文的着眼点是关于在弯曲时空中表述量子场论的问题。我将首先对二十世纪七十年代中期以前这一领域的某些历史沿革做一个叙述，那时人们清楚地意识到在 “粒子” 这一概念的基础上是无法对理论进行合理表述的。然后我将叙述在自由量子场的情况下如何通过代数方法解决理论表述中主要的概念性障碍。最后，我将叙述最近十年来人们在表述弯曲时空中带相互作用的量子场方面所取得的某些进展。

自由场的大部分量子理论直接来自于对由哈密顿量

H = (1/2)p² + (1/2)ω²q²

(1)

所描述的普通量子力学谐振子的分析。通过引进 “下降” (或 “湮灭”) 算符

a = (ω/2)^1/2q + i(1/2ω)^1/2p

(2)

我们可以将 H 改写为

H = ω(a⁺a + 1/2)

(3)

其中 a⁺ 表示 “上升” (或 “产生”) 算符，满足对易关系

[a, a⁺] = 1, [H, a] = -ωa

(4)

由此可知在 Heisenberg 表象中，位置算符 q_H 由

q_H = (1/2ω)^1/2(e^-iωta + e^iωta⁺)

(5)

给出。因此 a 被看作是 Heisenberg 位置算符的正频部分。谐振子的基态 |0> 由

a|0> = 0

(6)

确定。所有其它态都可以通过 a⁺ 的连续作用得到。

现在来考虑 Minkowski 时空中的自由 Klein-Gordon 标量场 φ。在经典物理中， φ 满足波动方程

∂^a∂_aφ - m²φ = 0

(7)

为了避免技术上的麻烦，一个方便的做法是想象标量场存在于一个满足周期性边界条件，边长为 L 的立方体中。在这种情况下， φ 可以被分解关于 x 的 Fourier 级数，其系数为

φ_k ≡ L^-3/2 ∫ e^-ik·xφ(t, x) d³x

(8)

其中

k = (2π/L) (n₁, n₂, n₃)

(9)

由此可得

H = Σ_k (1/2)(|dφ_k/dt|² + ω_k²|φ_k|²)

(10)

其中

ω_k² = |k|² + m²

(11)

因此，自由标量场 φ 可以被视为是无穷多个互不耦合的谐振子的集合。 φ 的量子场论可以由对所有这些谐振子的量子化而得到。由此立即可知 Heisenberg 场算符 φ(t, x) 应该由公式

φ(t, x) = L^-3/2 Σ (1/2ω_k) (e^ik·x-iω_kt a_k + e^{-ik·x+iω_kt} a_k⁺)

(12)

表示。可是，上式右端的求和不在任何能够让人们定义 (t,x) 点上的 φ 算符的意义上收敛。粗略的说，无穷多个任意高频振子的涨落太过剧烈，使得 φ(t,x) 无法定义。不过，这一困难可以通过用一个任意 “试验函数” f (f 为具有紧致支撑的光滑函数) 对 φ 进行 “涂抹” (smearing) 来克服，即用

φ(f) = ∫ f(t, x)φ(t, x) d⁴x

(13)

取代 f(t,x) [译者注：确切地讲， d⁴x 应为不变体积元 |det(g)|^1/2d⁴x]。由此得到的 φ(f) 的公式可以证明具有严格的数学意义，从而定义了作为 “算符值分布” (operator-valued distribution) 的 φ。

φ 的基态 |0> 很简单，就是组成 φ 的所有谐振子的共同基态，即满足对所有 k， a_k|0> = 0 的态。在量子场论中，这样的态被诠释为代表 “真空”。形如 (a⁺)ⁿ|0> 的态则被诠释为有 n 个粒子的态。在相互作用理论中，场的状态有可能在初末时刻接近于自由场。在那种情况下，我们可以对初末时刻的场作粒子诠释。初末态的粒子描述之间的关系 - 由 S 矩阵给出 - 包含了该相互作用理论的大量动力学信息。事实上，它包含了与散射实验有关的所有信息。

平直时空量子场论的粒子诠释或描述取得了巨大的成功，以至于人们很容易从理论的通常表述中产生一个印象，即量子场论在本质上其实是一个有关粒子的理论。然而，粒子的定义有赖于将 φ 如 (12) 式那样分解为产生和湮灭算符。这一分解又显著依赖于 Minkowski 时空中的时间平移对称性，因为 φ 的 “产生部分” 是其在时间平移下的正频部分。在不具有时间平移对称性的弯曲时空中， “粒子” 这一概念该如何定义远不是显而易见的。

2. 六十年代中期到七十年代中期弯曲时空量子场论的发展

从六十年代中期开始， Parker 对膨胀宇宙中的粒子产生效应进行了研究 [译者注：早在三十年代末， E. Schrödinger 就曾提到过这种效应， L. Parker 是最早对此进行详细研究的人，他的结果发表于六十年代末及七十年代初]。考虑一个空间平直的 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker 时空，其度规为

ds² = -dt² + a²(t)[dx² + dy² + dz²]

(14)

我们首先来考虑 a(t) 在 t<t₀ 及 t>t₁ 为常数，但在中间时段 t₀<t<t₁ 与时间有关的 (高度人为的) 情形。在 “初始时段” t<t₀，时空与同一时段中的 Minkowski 时空局部不可区分，因此该区域中一个自由量子场的给定状态具有粒子诠释，即可以用它的粒子组成来表征。类似地，在 “末态时段” t>t₁，同一个状态也存在粒子诠释。但是，由于中间时段的度规依赖于时间，对应于 “初始时段” 纯正频解的 Klein-Gordon 方程的经典解将不会对应于 “末态时段” 的纯正频解。这表明量子场在初末时段的产生湮灭算符 [对应于初末时段的分解式 (12)] 彼此不同。这也表明初末时段的粒子组成彼此不同。换句话说，宇宙膨胀将会导致自发粒子产生。初末时段的产生湮灭算符之间的关系可以很普遍地表示为 Bogoliubov 变换，其系数由经典散射确定。由此导致的 S 矩阵的普遍公式不难从这些系数中得到，特别是有关真空中粒子自发产生的表达式。

当然，我们并不相信宇宙初末时段的 a(t) 会是常数。在更现实的情形下我们该如何分析粒子的产生呢？假如宇宙的膨胀足够缓慢，我们可以定义 “绝热真空态” (adiabatic vacuum state) 这一近似概念，并引进相对于这一绝热真空的 “粒子” 概念。这样的粒子概念足以描述当前宇宙中尺度小于 Hubble 半径的量子场现象，即只有当我们考虑周期与 Hubble 时间 (对当前宇宙来说约为 10¹⁰ 年) 相当或更长的场振荡模式时，粒子的概念才变得本质上含糊。不过，在大爆炸奇点或非常接近大爆炸奇点的时侯，粒子概念是高度含糊的。

弯曲时空量子场论发展中的下一个主要进展来自于理论在黑洞上的应用。按照定义，渐近时空中的黑洞是一个没有任何东西可以从中逃逸到无穷远处的时空区域。黑洞被认为是物体完全引力坍缩的终结。黑洞的时间反演 - 即从无穷远处出发不可能进入的时空区域 - 被称为白洞。一般相信自然界中不可能出现白洞 (预期黑洞出现与预期白洞不出现之间的不对称性显然与热力学第二定律密切相关)。不过，黑洞按预期将会最终演变为一个稳恒的末态，如果我们在保持对称性的情况下对理想的稳恒末态度规沿逆时间方向延拓，就会得到包含白洞区域的时空。因此，尽管我们不预期白洞会在自然界中出现，它们将会出现在描述黑洞稳恒末态的理想化的数学解中。

由于按定义就没有任何东西可以从黑洞中逃逸，因此黑洞对于找寻任何有关粒子产生的可观测效应来说似乎是最没希望的地方之一。然而，黑洞的粒子产生效应却很自然地成为了研究课题，现在我就来解释一下其原因。在旋转黑洞的外面有一个区域，叫做能层 (ergosphere)，在那里描述无穷远处时间平移的 Killing 场会变成类空。这表明处于能层中的观测者相对于无穷远处静止的观测者不可能保持静止。事实上，能层中的观测者相对于无穷远处必须顺黑洞旋转的方向转动，这是广义相对论中 “惯性系拖拽” 效应的一个极端例子。能层的基本重要性在于，由于时间平移 Killing 场类空，因此有可能存在总能量 (包括静质量) 相对于无穷远处为负的经典粒子。由此，如 Penrose 在 1969 年所意识到的，我们可以通过将物体投入能层，使之分裂为两部分，其中一部分具有负的总能量，来从黑洞中获取能量。在这一过程中负能量的部分会落入黑洞 (从而减少其质量)，但我们可以安排让正能量的部分逃逸至无穷远处，携带比初始物体更多的能量。

在 Penrose 的发现之后不久， Misner (未发表) 与 Zel'dovich 及 Starobinski 意识到 Penrose 的能量获取过程存在一个波动类比。与向黑洞发射经典粒子并使之分裂为两部分类似，我们可以向旋转黑洞发射经典波。波的一部分将被黑洞吸收，另一部分则将回到无穷远处。但是，如果把波的频率与角度选在一个合适的范围内，被黑洞吸收的那部分波所携带的能量相对于无穷远处将是负的，从而回到无穷远处的那部分波将带有比入射波更大的能量与振幅。这一现象被称为超辐射散射 (superradiant scattering)。

因此，当一个具有超辐射频率及角度依赖性的波入射到一个旋转黑洞上时，黑洞将象激光一样放大入射波。超辐射散射因此与受激辐射有完全的相似性。但是，在量子理论中众所周知，受激辐射出现的场合自发辐射也会出现。这提示我们，旋转黑洞应该具有自发辐射 - 即真空中的自发粒子产生。这是由 Starobinski 注意到，并被 Unruh 所证实的。

旋转黑洞附近会出现自发粒子产生这一事实并未引起太大的惊讶或激动。对于宏观的黑洞 - 比如由旋转星体坍缩形成的黑洞 - 来说这一效应小得可以忽略，因此除非宇宙早期产生过微小的黑洞，这一效应在天体物理上并没什么重要性。尽管从原理的角度上讲是一种有趣的现象，但从可能性的角度讲，通过经典过程从旋转黑洞中获取能量并不令人吃惊或出人意料。但是，它直接导致了引发真正革命的进展。

计算旋转黑洞的粒子产生是在描述黑洞稳恒末态的理想化的时空中进行的。如上所述，这样的时空包含有白洞。因此，在粒子产生的计算中，人们必须在白洞视界上附加没有粒子从白洞中出射的初始条件。在 Unruh 的计算中，对白洞视界上的初始真空态作了一个看似自然的选择，但这一选择在物理上是否正确却并不显然。

1974 年， Hawking 意识到这一困难可以通过考虑物理上更有意义的描述黑洞引力坍缩过程而非理想化的稳恒黑洞 (及白洞) 的时空而获得解决。在进行计算的过程中，他发现由此得到的结果与从理想化的稳恒黑洞及看似自然的白洞视界上真空态的选择所得的结果有显著的差异。引人注目的是， Hawking 发现即使是非旋转黑洞，也会在后期发射粒子并产生一个射向无穷远处的稳定而非零的粒子通量。更引人注目的是，他发现对于非旋转黑洞，其后期射向无穷远处的粒子谱具有精确的热力学特征，其温度为 T=κ/2π，其中 κ 表示黑洞的表面引力。

Hawking 的结果意义深远。它确立了黑洞是热力学意义上具有非零温度的绝对黑体。这与此前发现的黑洞物理学的某些定律与普通热力学定律之间的数学相似性有着漂亮的联系，为那些定律之间的相似性不仅仅是数学类似提供了清晰的证据。这些定律之间的同一性导致了 A/4 与黑洞熵之间的同一性，其中 A 为视界的面积。来自 Hawking 结果的这些以及其它推论为我们提供了迄今所知有关量子引力的最深刻的洞察。

不过， Hawking 的计算在弯曲时空量子场论上也有一些重大的推论，这些是我要在这里强调的。尽管 Hawking 的结果是如此优美，使人们无法不相信，但那些计算中有一个很令人不安的地方：在黑洞视界附近使用一个看似自然的 “粒子” 概念，似乎会导致在那里出现密度发散的超高频粒子。那些 “粒子” 究竟意味着什么？它们的出现会摧毁黑洞吗？

为了能洞悉这一问题， Unruh 对 “粒子” 概念采取了一个纯操作的定义： “粒子” 是一种能够被粒子探测器纪录的场状态。然后他证明了在 Minkowski 时空中，当量子场处于普通的真空态时，一个加速观测者所携带的粒子探测器将会纪录到粒子。事实上，他证明了一个匀加速的观测者将会看到一个处于温度 T=a/2π 的严格的粒子热分布谱，这里 a 表示观测者的加速度。这一结果为出现在黑洞视界附近的超高频粒子发散密度的含义提供了一个解释。那些粒子将会被刚好处于黑洞之外的静止观测者所 “看到”。这样的观测者为了保持静止必须经受极高的加速度，他所看到的东西严格对应于 Minkowski 时空中的 Unruh 效应。但是一个自由落入黑洞的观测者将不会 “看到” 那些粒子，就象 Minkowski 时空中的惯性观测者不会看到加速观测者所看到的粒子。不仅如此，黑洞视界附近的量子场并不带有任何可观的能量动量效应，因此黑洞外的静止观测者所看到的那些 “粒子” 并不具有显著的反作用，特别是，它们不会摧毁黑洞。

从 Unruh 的工作中得到的一个清晰的启示是我们不能把 “粒子” 这一概念当成量子场论的基础。量子场论，如其名字所提示的，实质上是一个有关场，而非粒子，的量子理论。如果我们把局域场看成理论中的基本客体，那么 Unruh 效应只是这些场与其它量子体系 (比如 “粒子探测器”) 相互作用的简单结果。如果我们试图把 “粒子” 看成理论中的基本客体， Unruh 效应就会变得不可理解。

进一步的研究表明，除了稳恒时空 (及其它一些具有非常特殊性质的时空) 外，弯曲时空量子场论中不存在一个优越的 (preferred) “真空态”，相应地，也就不存在优越的 (preferred) “粒子” 概念。困难的所在并不是真空态这一概念不存在，而是存在许多，从而在一般时空中无法选出具有优越性质的唯一真空。因此，哪怕仅仅出于这一原因，将弯曲时空量子场论表示为不依赖于指定真空态或 “粒子” 概念的形式也无疑是上策。

构造自由量子场论的通常方法是先选择一个真空态，然后定义态的 Hilbert 空间为这一真空态上的 Fock 空间。场算符 (作为算符值分布 - operator-valued-distribution) 则可以与 (12) 式相类似地予以定义。如果真空态的不同选择所对应的仅仅是状态相对于其粒子组成的重新标识，那么即便不存在优越的真空态，用这种方法构筑理论仍然是有意义的。但是，在一般情况下，对真空态的不同选择将会导致幺正不等价的理论，因此真空态的选择至关重要。那么在似乎并不存在任何优越构造方式的情况下，我们该如何构筑一般弯曲时空中的量子场论呢？

到二十世纪八十年代中期，经过 Ashtekar、 Sewell、 Kay，及其他人的努力，人们发现弯曲时空中的自由场理论可以通过一种完全令人满意的代数方法来表述。现在我就来叙述这一方法。

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