基础数学的代表:数论与数理逻辑
基础数学的代表:数论与数理逻辑
当前已经进入二十一世纪,谈论基础数学而不涉及数学公理系统及其应用,荒谬至极。
国内数学守旧派
整天守着自己的一一亩三分地(老古董极限微积分),从来不提基础数学的公理化,不知他们如何应对国家4部委联合下发《关于加强数学科学研究工作方案》的通知?
为什么说“基础数学的代表:数论与数理逻辑”?有何根据?请见本文附件。
注:《方案》的第一条款是“ 一、持续稳定支持基础数学科学”,清楚地表明了国家支持基础数学科学研究的意志。
袁萌 陈启清 8月20日
附件:
纯粹数学
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一般而言,纯粹数学是一门专门研究数学本身,不以应用为目的的学问(至少可见范围内无法应用),相对于应用数学而言。纯粹数学以其严格、抽象和美丽著称。自18世纪以来,纯粹数学成为数学研究的一个特定种类,并随着探险、天文学、物理学、工程学等的发展而发展。
纯粹数学以数论,数理逻辑为其代表。
目录
1 历史
1.1 19世纪
1.2 20世纪
2 一般化与抽象
3 纯粹主义
4 参考
历史
19世纪
“纯粹数学”这个词是从Sadleirian Chair这个19世纪中期建立的教授职位的全名而来的。“纯粹”数学作为一门独立的学科的想法可能就是从那个时候发展起来的。高斯一代的数学家没有彻底地区分过“纯粹”和“应用”。之后,专门化和专业化,特别是魏尔施特拉斯研究数学分析的方法,使得两者的区别越来越大。
20世纪
进入20世纪,数学家们受到希尔伯特的影响,开始使用公理系统。罗素提出了“纯粹数学”的逻辑公式化方法,以量化的命题为形式。随着数学的公理化,这些公式变得越来越抽象,“严格证明”成为了简单的标准。
实际上在公理系统中,“严格”在“证明”中没有任何新意。以布尔巴基小组的观点,纯粹数学就是已经被证明了的公理。纯粹数学家成为普遍接受的职业,可以通过训练而取得。
一般化与抽象
纯粹数学的一个核心思想就是一般化,它常常有一种更加一般化的趋势。
将定理或数学结构一般化能使对其理解更深
一般化能够简化表达,使证明更短
利用一般化可避免重复证明
一般化可为不同数学分支的联系带来便利。范畴论即是探索这种关联和共性的一个数学领域。
纯粹主义
关于纯粹数学和应用数学,数学家们总有不同的见解。有人认为,最有名的现代例子莫过于戈弗雷•哈罗德•哈代的一个数学家的辩白。
通常认为,哈代认为应用数学非常丑陋和枯燥。哈代偏爱纯粹数学,常把纯粹数学跟画和诗相提并论。他认为应用数学只不过是在数学框架内寻求世界的物理原理,而纯粹数学则表达了独立于物理世界的另一种真实。在他眼中,“真实”数学“具有永恒的美学价值”,而“数学的基本和枯燥的部分”拥有实用价值。
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