前言

大约一年前，我在机房学“斜率优化”

一年后的今天，我在机房学“斜率优化”

... ...

题目

Consider a simple sequence which only contains positive integers as a1, a2 ... an, and a number k. Define ave(i,j) as the average value of the sub sequence ai ... aj, i<=j. Let’s calculate max(ave(i,j)), 1<=i<=j-k+1<=n.

Input

There multiple test cases in the input, each test case contains two lines.
The first line has two integers, N and k (k<=N<=10^5).
The second line has N integers, a1, a2 ... an. All numbers are ranged in [1, 2000].

Output

For every test case, output one single line contains a real number, which is mentioned in the description, accurate to 0.01.

Sample Input

10 6
6 4 2 10 3 8 5 9 4 1

Sample Output

6.50

题目大意

读入N个正整数a[1]...a[n]，和一个整数k。

定义区间平均值ave(i, j)表示一个连续子区间a[i]...a[j]的元素的平均值。

求最大的区间平均值max(ave(i, j)) 1<=i<=j-k+1<=n.

分析

此乃~斜率优化板题也~

参考博客&特别鸣谢：https://www.cnblogs.com/Free-rein/archive/2012/08/09/2630190.html

解题思路

首先一定会设序列ai的部分和：Si=a1+a2+…+ai，，特别的定义S0=0。

这样可以很简洁的表示出目标函数ave(i,j)=(Sj-S(i-1))/(j-(i-1))!

如果将S函数绘在平面直角坐标系内，这就是过点Sj和点Si-1直线的斜率！

于是问题转化为：平面上已知N+1 个点，Pi(i, Si)，0≤i≤N，求横向距离大

于等于F的任意两点连线的最大斜率。

构造下凸折线

有序化一下，规定对i<j，只检查Pj向Pi的连线，对Pi不检查与Pj的连线。

也就是说对任意一点，仅检查该点与在其前方的点的斜率。于是我们定义点Pi

的检查集合为Gi = {Pj, 0≤j≤i-F}，特别的，当i<F时，Gi为空集。

其明确的物理意义为：在平方级算法中，若要检查ave(a, b)，那么一定有Pa∈Gb；

因此平方级的算法也可以这样描述，首先依次枚举Pb点，再枚举Pa∈Gb，同时检查k(PaPb)。//k为斜率

若将Pi和Gi同时列出，则不妨称Pi为检查点，Gi中的元素都是Pi的被检查点。

当我们考察一个点Pt时，朴素的平方级算法依次选取Gt中的每一个被检查点p，

考察直线pPt的斜率。但仔细观察，若集合内存在三个点Pi, Pj, Pk，且i<j<k，三个点形成如下图

所示的的关系，即Pj点在直线PiPk的上凸部分：k(Pi, Pj)>k(Pj,Pk)，就很容易可以证明Pj点是多余的。

证明：

（一）若k(Pt, Pj) > k(Pt, Pi)，那么可以看出，Pt点一定要在直线PiPj的上方，即阴

影所示的1号区域。

（二）同理若k(Pt, Pj) > k(Pt, Pk)，那么Pt点一定要在直线PjPk的下

方，即阴影所示的2号区域。

综合上述两种情况，若PtPj的斜率同时大于PtPi和PtPk的，Pt点一定要落在两阴影的重叠部分，

但这部分显然不满足开始时t>j 的假设。于是，Pt落在任何一个合法的位置时，PtPj的斜率要么小于PtPi，

要么小于PtPk，即不可能成为最大值，因此Pj点多余，完全可以从检查集合中删去。这个结论告诉我们，

任何一个点Pt的检查集合中，不可能存在一个对最优结果有贡献的上凸点，因此我们可以删去每一个上凸点，

剩下的则是一个下凸折线。最后需要在这个下凸折线上找一点与Pt 点构成的直线斜率最大——显然这条直

线是在与折线相切时斜率最大，如图所示。

维护下凸折线——新元素入队的处理

这一小节中，我们的目标是：用尽可能少的时间得到每一个检查点的下凸折线。

算法首先从PF开始执行：它是检查集合非空的最左边的一个点，集合内仅有一个元素P0，

而这显然满足下凸折线的要求，接着向右不停的检查新的点：PF+1,PF+2, …, PN。

检查的过程中，维护这个下凸折线：每检查一个新的点Pt，就可以向折线最右端加入一个新的点Pt-F，

同时新点的加入可能会导致折线右端的一些点变成上凸点，我们用一个类似于构造凸包的过程依次删去这些上凸点，

从而保证折线的下凸性。由于每个点仅被加入和删除一次，所以每次维护下凸折线的平摊复杂度为O(1)，

即我们用O(N)的时间得到了每个检查集合的下凸折线。

最后的优化：利用图形的单调性——寻找、更新答案的处理

最后一个问题就是如何求过Pt点，且与折线相切的直线了。一种直接的方法就是二分，每次查找的复杂度是O(log2N)。

但是从图形的性质上很容易得到另一种更简便更迅速的方法：

由于折线上过每一个点切线的斜率都是一定的，而且根据下凸函数斜率的单调性，如果在检查点Pt 时找到了折线上的已知一个切点A，

那么A以前的所有点都可以删除了：过这些点的切线斜率一定小于已知最优解，不会做出更大的贡献了。

于是另外保留一个指针不回溯的向后移动以寻找切线斜率即可，平摊复杂度为为O(1)。

至此，此题算法时空复杂度均为O(N)，得到了圆满的解决。

总结——斜率优化的几大步骤（蒟蒻的大白话解释）

1.分析题目，列出转移方程或要求的“目标物”的式子

2.将方程或式子写作“y=kx+b”有时是“y/x=k”的形式，即直线表达式

3.维护一个双端队列，先处理队尾，再处理队首（决策队尾、队首元素的去留）

（“先队首再队尾导致错误”的具体例子请见：https://blog.csdn.net/qq_36294918/article/details/103641669）

4.转移方程或更新答案

5.输出答案，快乐结束

特别感谢：

《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》---周源

提供了许多关于数形结合解题的思路。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1e5;
double sum[MAXN+5];
int q[MAXN+5];
int n,len;
inline char __getchar()
{static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline bool qread(int &x)
{char ch=__getchar();if(ch==EOF)return false;x=0;while(!(ch>='0'&&ch<='9'))ch=__getchar();while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=__getchar();return x;
}
void Solve()
{memset(q,0,sizeof(q));double Max=0;int head=0,tail=0;for(int i=len;i<=n;i++){int now=i-len;//长度至少为k //处理队尾 while(head<tail){double k1=(sum[q[tail]]-sum[q[tail-1]])/(q[tail]-q[tail-1]);double k2=(sum[now]-sum[q[tail]])/(now-q[tail]);//保证下凸 if(k1>=k2)tail--;//去掉上凸的点 elsebreak;}//入队 tail++;q[tail]=now;//处理队首 while(head<tail){double k1=(sum[q[head]]-sum[i])/(q[head]-i);double k2=(sum[q[head+1]]-sum[i])/(q[head+1]-i);//去掉不优的点 if(k1<=k2)head++;//下凸线中去掉斜率较小的点（从左往右）elsebreak;} double k=(sum[q[head]]-sum[i])/(q[head]-i);Max=max(Max,k);}printf("%.2f\n",Max);
}
int main()
{while(qread(n)&&qread(len)){sum[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){int x;qread(x);sum[i]=sum[i-1]+x;}Solve();}return 0;
}

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