伽罗瓦（Evarist. Galois）与现代群论

伽罗瓦也许是世界上生命最短的著名数学家，正是他给我们开辟了代数(Algebra)公理化的全新方向。以下是他的肖像：

伽罗瓦生于1811年10月25日，死于1832年5月31日。在年轻时代，伽罗瓦给出了一个有理系数多项式存在”根式解“的充分必要条件，从而解决彻底了使用圆规直尺不可能“三等分角”的历史难题。伽罗瓦研究了代数方程根（Roots)的“置换”问题，首次塑造了“置换群”的概念，并且在数学文献中第一次使用了“群”（Group）这个术语。

进入二十世纪，集合论公理化运动兴起，布尔巴基学派给出“群”的公理化定义：假定抽象集合G为一个群(运算符可省略)，则成立

1）结合律：(ab)c=a(bc)，对所有a,b, c ∈ G.

2）存在一个单位元1∈G，使得g1=1g=g，对所有g∈G

3）对每一个元素g∈G，,存在一个它的逆元f∈G，使得fg=gf=1

注意：群G可以是有限集或无限集，其中交换律未必成立。群的实例如下：

1）在乘法运算下，一切非零实数构成一个群，单位元是1；

2）在加法运算下，所有实数构成一个群，单位是0；

3）所有n阶可逆矩阵构成一个群，单位元是n阶单位矩阵E；

4）在向量加法运算下，任何向量空间搜是群，零向量是单位元；

注意：所有实数集，在乘法运算下，不能构成一个群，因为其中存在实数0，它没有逆元。

实际上，群论的研究范围很广泛，比如抽象有限群的结构分类，无限群的矩阵表示，等等，内容都很深入（确实非常艰深）。有了群的概念，我们就好说话了。比如，由此可以引入环（Ring)，域（Feild)与代数（Algebra)的概念。有了群、环、域的概念，我们便于交流一些现代数学概念与理论，尤其是数学系统的公理化，进而涉足数理逻辑模型论领域，从而彻底搞清楚无穷小微积分的理论基础（或基石。这一切都是老祖宗伽罗瓦（一个小毛头）留给我们的宝贵数学财富。

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