对换对排列奇偶性的影响

前置知识：

【定义】排列及其逆序数

定义1（对换）　在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换叫做相邻对换。

下面讨论对换对排列奇偶性的影响。

首先考虑相对简单的相邻对换。经过相邻对换，对换元素前后的逆序数不会改变；同时，因为排列中的元素各不相同，所以无论对换元素谁大谁小，总会令排列的逆序数 ±1\pm1±1，使奇偶性改变。

接着考虑一般对换。不妨设对换元素之间相隔 mmm 个其他元素，此时将左侧元素移动到右侧元素的右边需要 m+1m+1m+1 次相邻对换，而将右侧元素移动到原来左侧元素的位置需要 mmm 次相邻对换。因为每次相邻对换均会改变排列奇偶性，因此一般对换经过 2m+12m+12m+1 次相邻对换后也会改变排列奇偶性。

于是得到定理及证明如下：

定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

证明：仍不妨设元素为从 111 开始自然数（从小到大为标准次序）。先证明对换的情形。

设排列为 a1⋯anabb1⋯bma_1 \cdots a_n a b b_1 \cdots b_ma1⋯anabb1⋯bm，对换 aaa 与 bbb，变为 a1⋯anbab1⋯bma_1 \cdots a_n b a b_1 \cdots b_ma1⋯anbab1⋯bm。显然，a1,⋯,ana_1,\cdots,a_na1,⋯,an、b1,⋯,bmb_1,\cdots,b_mb1,⋯,bm 这些元素的逆序数经过对换并不会改变，而 a,ba,ba,b 两元素的逆序数改变为：当 a<ba < ba<b 时，经过对换后 aaa 的逆序数增加 111 而 bbb 不变；当 a>ba > ba>b 时，经过对换后 aaa 的逆序数不变而 bbb 的逆序数减少 111。所以排列 a1⋯anabb1⋯bma_1 \cdots a_n a b b_1 \cdots b_ma1⋯anabb1⋯bm 与排列 a1⋯anbab1⋯bma_1 \cdots a_n b a b_1 \cdots b_ma1⋯anbab1⋯bm 的奇偶性不同。

再证一般对换的情形。

设排列为 a1⋯anac1⋯clbb1⋯bma_1 \cdots a_n a c_1 \cdots c_l b b_1 \cdots b_ma1⋯anac1⋯clbb1⋯bm，把它作 mmm 次相邻对换，变成 a1⋯anabc1⋯clb1⋯bma_1 \cdots a_n a b c_1 \cdots c_l b_1 \cdots b_ma1⋯anabc1⋯clb1⋯bm，再作 m+1m+1m+1 次相邻对换，变成 a1⋯anbc1⋯clab1⋯bma_1 \cdots a_n b c_1 \cdots c_l a b_1 \cdots b_ma1⋯anbc1⋯clab1⋯bm。总之，经过 2m+12m+12m+1 次相邻对换，排列 a1⋯anac1⋯clbb1⋯bma_1 \cdots a_n a c_1 \cdots c_l b b_1 \cdots b_ma1⋯anac1⋯clbb1⋯bm 变成排列 a1⋯anabc1⋯clb1⋯bma_1 \cdots a_n a b c_1 \cdots c_l b_1 \cdots b_ma1⋯anabc1⋯clb1⋯bm，所以这两个排列的奇偶性相反。

进而得到推论及证明如下：

推论　奇排列对换称标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

证明：由定理 1 知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为 000），因此知推论成立。

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