【BZOJ4422】Cow Confinement【扫描线】【差分】【线段树】

题意

一个10610^6106行10610^6106列的网格图，上面有一些牛、花和一些矩形围栏，围栏在格子的边界上，牛和花在格子里，牛只能向下或向右走，不能穿过围栏和地图边界，求每头牛它能到达的花的数量。（栅栏不会相交）

题解

暴力

首先，可以想出一个很显然的dp，设dpi,jdp_{i,j}dpi,j表示方格(i,j)(i,j)(i,j)能到达的花数。要分类讨论，前三种情况很简单，再次不赘述，特别地，有一种情况不能忽略，如下图：（红色范围为栏杆，蓝色为当前格）

如果dpi,j=dpi+1,j+dpi,j+1dp_{i,j}=dp_{i+1,j}+dp_{i,j+1}dpi,j=dpi+1,j+dpi,j+1，会发现黑色部分重复计算，需要减去围栏左下角的dpdpdp值。

时间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)，需要优化

优化

我们发现除了有围栏遮挡的情况外，当前状态的更新都用到dpi+1,jdp_{i+1,j}dpi+1,j和dpi,j+1dp_{i,j+1}dpi,j+1，可以考虑差分：
我们可以按yyy从大往小扫描线，维护数组fif_ifi，表示第y列中（注意题目中的y是横坐标）dpi,y−dpi+1,ydp_{i,y}-dp_{i+1,y}dpi,y−dpi+1,y的值。可以画个图帮助理解：

如上图f1f_1f1统计范围是蓝色部分，f2f_2f2也是它对应的横条，f3f_3f3统计围栏内，而f4f_4f4则统计黄色部分，一个“7”形。
这样，要统计某一头牛(x,y)(x,y)(x,y)能到达的花，只需找出第一个挡住它的围栏横坐标（R），答案就是∑x≤i≤Rfi\sum_{x\leq i\leq R}f_i∑x≤i≤Rfi

现在问题是当扫描完一条线，yyy值减一时，如何维护fif_ifi？同样要分类讨论。
1.遇到花，直接在对应位置把fif_ifi加一即可
2.遇到牛，更新答案
3.遇到栏杆的开始：设栏杆纵坐标为yyy，横坐标范围为lll到rrr。首先需要把fl−1f_{l-1}fl−1加上旧的∑l≤i≤rfi\sum_{l\leq i\leq r}f_i∑l≤i≤rfi（即上图黄色图形的下边三格），然后把flf_lfl至frf_rfr设为0（因为出不去），再把lll，rrr标记为围栏（更新答案要用）
4.遇到围栏的结束：设栏杆纵坐标为yyy，横坐标范围为lll到rrr。需要把fl−1f_{l-1}fl−1减去重复部分（像dp第4种情况一样，即上图黄色图形的下边两格与f1,f2f_1,f_2f1,f2重复，重复部分需要在情况3记录），把flf_lfl至frf_rfr设为0（因为进不去围栏），再把lll，rrr删除围栏标记

综上所述，我们要对fif_ifi进行单点修改，区间复制，区间求和，建立标记和查询后一个标记。可以用线段树维护。
（水平有限，表达可能不清，请结合代码）

代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define db double
#define ll long long
#define inf 1000005
#define eps 1e-6
#define INF 2005
char buf[10000001],*Hd,*Tl;
#define getchar(ch) {if (Hd==Tl){int len=fread(buf,1,10000000,stdin);Hd=buf,Tl=Hd+len;}ch=(*Hd++);}
//#define getchar(ch) ch=getchar()
#define rd(n) {n=0;char ch;int f=0;do{getchar(ch);if(ch=='-'){f=1;}}while(ch<'0'||ch>'9');while('0'<=ch&&ch<='9'){n=(n<<1)+(n<<3)+ch-48;getchar(ch);}if(f)n=-n;}
using namespace std;inline void write(int x){char c=x%10+48;if (x<10){putchar(c);return;}write(x/10);putchar(c);return;
}struct ST{int sum,set,fen;
}t[inf*4];void ST_pushdown(int u){if (t[u].set!=-1){t[u*2+1].set=t[u*2].set=0;t[u*2+1].sum=t[u*2].sum=0;t[u].set=-1;}return;
}void ST_pushup(int u){t[u].sum=t[u*2].sum+t[u*2+1].sum;t[u].fen=(t[u*2].fen|t[u*2+1].fen);return;
}void ST_build(int u,int l,int r,int N){t[u].set=-1;if (l==r){if (l==N){t[u].fen=1;}return;}int mid=(l+r)/2;ST_build(u*2,l,mid,N);ST_build(u*2+1,mid+1,r,N);ST_pushup(u);return;
}void ST_add(int u,int l,int r,int k,int v){if (l==r){t[u].sum+=v;return;}ST_pushdown(u);int mid=(l+r)/2;if (k<=mid){ST_add(u*2,l,mid,k,v);}else{ST_add(u*2+1,mid+1,r,k,v);}ST_pushup(u);return;
}void ST_set0(int u,int l,int r,int L,int R){if (L<=l && r<=R){t[u].set=0;t[u].sum=0;return;}ST_pushdown(u);int mid=(l+r)/2;if (L<=mid){ST_set0(u*2,l,mid,L,R);}if (R>mid){ST_set0(u*2+1,mid+1,r,L,R);}ST_pushup(u);return;
}void ST_setfen(int u,int l,int r,int k){if (l==r){t[u].fen^=1;return;}int mid=(l+r)/2;ST_pushdown(u);if (k<=mid){ST_setfen(u*2,l,mid,k);}else{ST_setfen(u*2+1,mid+1,r,k);}ST_pushup(u);return;
}int ST_nxtfen(int u,int l,int r,int k){if (k<=l){if (!t[u].fen){return 0;}while (l!=r){int mid=(l+r)/2;if (t[u*2].fen){u=u*2,r=mid;}else{u=u*2+1,l=mid+1;}}return l;}ST_pushdown(u);int mid=(l+r)/2;if (k<=mid){int ans=ST_nxtfen(u*2,l,mid,k);return ans?ans:ST_nxtfen(u*2+1,mid+1,r,k);}return ST_nxtfen(u*2+1,mid+1,r,k);
}int ST_query(int u,int l,int r,int L,int R){if (L<=l && r<=R){return t[u].sum;}ST_pushdown(u);int mid=(l+r)/2,ans=0;if (L<=mid){ans+=ST_query(u*2,l,mid,L,R);}if (R>mid){ans+=ST_query(u*2+1,mid+1,r,L,R);}return ans;
}struct line{int l,r,y;int id,p;line(){}line(int x1,int x2,int yy,int ii,int pp){l=x1,r=x2,y=yy,id=ii,p=pp;}
}L[inf];bool operator<(line _1,line _2){if (_1.y==_2.y){return _1.l<_2.l;}return _1.y>_2.y;
}struct point{int x,y;int id;
}C[inf],F[inf];bool operator<(point _1,point _2){return _1.y>_2.y;
}int lcnt,ccnt,fcnt,N;
int ans[inf],s[inf];void addline(int id){if (L[id].p==0){int nxt=ST_nxtfen(1,1,N,L[id].r);s[L[id].id]=ST_query(1,1,N,L[id].r+1,nxt);int sum=ST_query(1,1,N,L[id].l,L[id].r);ST_set0(1,1,N,L[id].l,L[id].r);if (L[id].l!=1){ST_add(1,1,N,L[id].l-1,sum+s[L[id].id]);ST_setfen(1,1,N,L[id].l-1);}ST_setfen(1,1,N,L[id].r);}else{ST_set0(1,1,N,L[id].l,L[id].r);if (L[id].l!=1){ST_add(1,1,N,L[id].l-1,-s[L[id].id]);ST_setfen(1,1,N,L[id].l-1);}ST_setfen(1,1,N,L[id].r);}return;
}int main(){int cnt,x1,x2,y1,y2;rd(cnt)for (int i=1;i<=cnt;i++){rd(x1) rd(y1) rd(x2) rd(y2)L[i*2]=line(x1,x2,y2,i,0);L[i*2-1]=line(x1,x2,y1-1,i,1);N=max(N,x2);}lcnt=cnt*2;rd(fcnt)for (int i=1;i<=fcnt;i++){rd(F[i].x) rd(F[i].y)N=max(N,F[i].x);}rd(ccnt)for (int i=1;i<=ccnt;i++){rd(C[i].x) rd(C[i].y) N=max(N,C[i].x);C[i].id=i;}sort(L+1,L+lcnt+1);sort(C+1,C+ccnt+1);sort(F+1,F+fcnt+1);N=inf-4;ST_build(1,1,N,N);int li=1,ci=1,fi=1;for (int i=N;i>=1;i--){for (;L[li].y==i;li++){addline(li);}for (;F[fi].y==i;fi++){ST_add(1,1,N,F[fi].x,1);}for (;C[ci].y==i;ci++){int nxt=ST_nxtfen(1,1,N,C[ci].x);ans[C[ci].id]=ST_query(1,1,N,C[ci].x,nxt);}}for (int i=1;i<=ccnt;i++){write(ans[i]);putchar('\n');}return 0;
}

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暴力

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