一、特征值和特征向量

设A为n阶矩阵，若数 $\lamda$ $\lambda$ 和n维非零列向量x使关系式：

$Ax=\lambda x$

成立，则 $\lambda$ 称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

关系式也可写为：

$(A-\lambda E)x=0$

有非零解的充分必要条件是： $|A-\lambda E |=0$

二、求解特征值、特征向量

以二阶方阵为例：

$\left | \begin{bmatrix} a&b \\ c& d \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} x &0 \\ 0&x \end{bmatrix} \right |=0$

$\begin{vmatrix} a-x &b \\ c& d-x \end{vmatrix}=0$

即： $(a-x)(d-x)-bc=0$

$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$

$\lambda_{1,2}=\frac{(a+d)\pm \sqrt{{(a+d)^2}-4(ad-bc)}}{2}$

相应地特征向量计算：

$(n_x,n_y)=\left [ \frac{b}{\sqrt{b^2+(a-\lambda)^2}} ,\frac{\lambda -a}{\sqrt{b^2+(a-\lambda)^2}}\right ]$

三、特征值大小分析

若一大一小，说明像素点在条纹（前景）区；
若都是小值，说明像素点在背景（灰度变化平坦）区；
若都是大值，说明像素点在条纹交叉点区。

四、总结

一般可以通过计算Hessian矩阵的特征值，选择大的特征值对原图像进行增强，有利于进行后续的图像分割。

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