kuangbin数学训练2

LightOJ - 1058 Parallelogram Counting

题意

给出若干个点坐标，问最多能构成多少个不同的平行四边形

思路

找每条线段的中点重合即可
假如 m条线段的中点重合，则可构成Cm2C_m^2Cm2个平行四边形

代码(转)

#include <cstdio>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#define eps 1e-8
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const int maxn = 1e6;
const int INF = 0x3f3f3f;
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
using namespace std;
int n;
struct node
{int x,y;
}p1[maxn+5],p2[maxn+5];
bool judge(int a, int b)
{if(p2[a].x == p2[b].x && p2[a].y == p2[b].y)return 1;return 0;
}
bool cmp(node a, node b)
{if(a.x==b.x)return a.y<b.y;return a.x<b.x;
}
int main()
{//ios::sync_with_stdio(false);int T;scanf("%d",&T);int tt = 1;while(T--){scanf("%d",&n);for(int i = 0; i<n; i++)scanf("%d %d",&p1[i].x,&p1[i].y);int k = 0;//计算所有不同点对的中点for(int i = 0; i<n; i++)for(int j = i+1; j<n; j++){p2[k].x = (p1[i].x+p1[j].x);p2[k++].y = (p1[i].y+p1[j].y);}ll cnt = 1,ans = 0;sort(p2,p2+k,cmp);for(int i = 1; i<k; i++){if(judge(i,i-1))cnt++;else{ans += (cnt-1)*cnt/2;cnt = 1;}}ans += (cnt-1)*(cnt)/2;printf("Case %d: %lld\n",tt++,ans);}return 0;
}

LightOJ - 1067 Combinations

思路

求组合数模板，加深印象练手

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1000010, mod = 1000003;int fact[N];
int infact[N];int qmi(int a, int b, int mod) {int res = 1;while(b) {if(b & 1)res = (LL)res * a % mod;a = (LL)a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}void init() {fact[0] = infact[0] = 1;for (int i = 1; i < N; i ++) {fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;}
}int cal(int n, int m) {return (LL)fact[n] * infact[m] % mod * infact[n - m] % mod;
}int main() {int id = 0;int T;scanf("%d", &T);init();while(T --) {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);int ans = cal(n, m);printf("Case %d: %d\n", ++ id, ans);}return 0;
}

LightOJ - 1095 Arrange the Numbers

题意

n个数1,2,3…n，问你前m个数中有只有k个数在原位上的方案数。

思路

组合数错排问题
首先前m个数k个在原位置的方案CmkC_m^kCmk
然后前m个数剩下的m−km-km−k必须错排
而后面的n−mn-mn−m个数，可错排，可不错排
于是可以列举后n−mn-mn−m个数不错排的个数的情况，枚举范围[0,n-m]
于是答案为
Cnk∗(∑i=0n−md[n−k−i]∗Cn−mi)C_n^k*(\sum_{i=0}^{n-m}d[n-k-i]*C_{n-m}^{i})Cnk∗(∑i=0n−md[n−k−i]∗Cn−mi)

注：
求错排的公式: f(n) = (n-1)*(f(n-1)+f(n-2))
证明

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;const int N = 1010, mod = 1000000007;typedef long long LL;int fact[N], infact[N];
int d[N];int qmi(int a, int b, int mod) {int res = 1;while(b) {if(b & 1)res = (LL)res * a % mod;a = (LL)a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}void init() {fact[0] = infact[0] = 1;for (int i = 1; i < N; i ++) {fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;}d[0] = 1, d[1] = 0;for (int i = 2; i < N; i ++)d[i] = (LL)(i - 1) * (d[i - 1] + d[i - 2]) % mod;
}int calc(int a, int b) {return (LL)fact[a] * infact[a - b] % mod * infact[b] % mod;
}int main() {init();int T;int id = 0;scanf("%d", &T);while(T --) {int n, m, k;scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);LL ans = 0;for (int i = 0; i <= n - m; i ++) {ans = (ans + (LL)d[n - k - i] * calc(n - m, i) % mod) % mod;}ans = (LL)ans * calc(m, k) % mod;printf("Case %d: %lld\n", ++id, ans);}return 0;
}

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