前言

本文通过滑模方法对AUV的直线路径跟踪的转艏力矩进行设计，主要目的是介绍滑模变结构控制的基本原理和滑模方法在AUV控制中的简单运用。

一、滑模控制的基本原理介绍

滑模变结构控制是一种非线性的控制方法，又称为变结构控制，其控制结构是不固定的，会随着整个系统的状态变化而变化。根据系统运动轨迹可以通过切换控制量进行控制，滑模控制的结构简单，对精确的数学模型的依赖性不强，同时易于控制而且响应较快，缺点是其不连续的特性会导致抖振现象产生，系统的状态在切换面的左右进行抖动，无法对切换面进行实际上的趋近和贴合。
滑模运动主要包括趋近运动和滑模运动两部分。
趋近运动：要求状态空间不断向切换面靠近，对具体的趋近过程未作限制；
滑模运动：系统状态在滑模面附近继续运动；
具体定义如下：
假设存在控制系统：x˙=f(x,u,t)\dot{x}=f(x,u,t)x˙=f(x,u,t)
确定一个切换函数s(x)s(x)s(x),切换面可以表示为：s(x)=s=0s(x)=s=0s(x)=s=0
此处的切换面是一个超曲面，它将整个状态空间分为两个部分，如下图所示：

此时要求控制量uuu在切换面附近的切换为：
u={u+(x)s(x)>0u−(x)s(x)<0u = \begin{cases}u^{+}(x) &s(x)>0\\u^{-}(x)& s(x)<0&\end{cases}u={u+(x)u−(x)s(x)>0s(x)<0
若能满足上式，则称滑动模态存在。一种控制能称为滑模变结构控制，不仅要求滑动模态存在，同时在有限时间能达到滑模面，且过程要保持稳定。
应用滑模理论解决跟踪问题时，基本思路是通过设计关于跟踪误差的滑模函数，设计控制率使滑模函数收敛，进而保证误差的收敛，最终达到控制目的，下面进行简单说明。
设计的滑模函数为：s(t)=ce(t)+e˙(t)s(t)=ce(t)+\dot{e}(t)s(t)=ce(t)+e˙(t)其中e(t)e(t)e(t)和e˙(t)\dot{e}(t)e˙(t)分别为误差和误差随时间的变化率，参数ccc满足相应的参数选择条件，即大于零。
当s(t)=0s(t)=0s(t)=0时，滑模函数变为：
e˙(t)/e(t)=−c\dot{e}(t)/e(t)=-ce˙(t)/e(t)=−c对两侧同时积分：
ln(e(t)/e(0))=−ctln(e(t)/e(0))=-ctln(e(t)/e(0))=−ct最终的收敛结果为：
e(t)=e(0)exp(−ct)e(t)=e(0)exp(-ct)e(t)=e(0)exp(−ct)即t→∞t\rightarrow\inftyt→∞时，系统误差会以指数形式收敛到0，收敛的速度与参数ccc的选择有关。则若通过设计相应的控制率使滑膜函数收敛于0，那么误差在t→∞t\rightarrow\inftyt→∞时也可指数收敛于0。

二、几种典型的趋近率

滑模控制包含趋近运动和滑模运动，前者指系统状态从所给定的初始位置趋向切换面，后者指系统状态到达切换面时无限趋近于切换面，此过程即为s→∞s\rightarrow\inftys→∞的过程，合理的趋近率选择可以保证快速趋近且有效消除抖振现象，下面介绍几种典型的趋近率。

2.1等速趋近率

s˙=−ϵsgns,ϵ>0\dot{s}=-\epsilon sgns,\epsilon>0s˙=−ϵsgns,ϵ>0sgnssgnssgns为符号函数，ϵ\epsilonϵ为增益参数，系统状态趋近于切换面的速度与之相关：较大的ϵ\epsilonϵ会使趋近速度变快，但同时产生的抖振现象也会更加明显；较小的ϵ\epsilonϵ会使趋近速度变慢，同时引起的抖振也会更小。

2.2指数趋近率

s˙=−ϵsgns−ks,ϵ>0,k>0\dot{s}=-\epsilon sgns-ks ,\epsilon>0,k>0s˙=−ϵsgns−ks,ϵ>0,k>0由上式知，指数趋近率由等效趋近率和指数项s˙=−ks\dot{s}=-kss˙=−ks组成，其中指数项主要控制趋近的速率，较大的增益能使系统状态趋近至滑模面的时间变短，其解为s=s(0)e−kts=s(0)e^{-kt}s=s(0)e−kt。

对指数趋近率进行分析，取李雅普诺夫函数：
V=12s2V=\frac{1}{2}s^{2}V=21s2采用指数趋近率并对上式进行求导，得到：
V˙≤−ϵ∣s∣−ks2=−k2V−ϵ∣s∣≤−k2V\dot{V}\leq-\epsilon\mid s\mid-ks^{2}=-\frac{k}{2}V-\epsilon\mid s\mid\leq-\frac{k}{2}VV˙≤−ϵ∣s∣−ks2=−2kV−ϵ∣s∣≤−2kV求解该不等式可得：
V(t)≤e−k2（t−t0)V(t0)V(t)\leq e^{-\frac{k}{2}（t-t_{0})}V(t_{0})V(t)≤e−2k（t−t0)V(t0)即V(t)V(t)V(t)指数收敛于零，收敛速度由kkk的大小决定。在指数收敛中，收敛速度会随时间推移逐渐减小为零，这就使当系统状态接近切换面时速度较小。
倘若只存在指数趋近，系统只能无限趋近于切换面但最终无法达到，此时便无滑动模态。当引入等速趋近项s˙=−ϵsgn(s)\dot{s}=-\epsilon sgn(s)s˙=−ϵsgn(s),此时靠近切换面时，其收敛速度是ϵ\epsilonϵ而非零，使其最终能达到滑模面。

2.3幂次趋近率

s˙=−k∣s∣α,k>0,1>α>0\dot{s}=-k\mid s \mid ^\alpha,k>0,1>\alpha>0s˙=−k∣s∣α,k>0,1>α>0

2.4一般趋近率

s˙=−ϵsgns−f(s),ϵ>0\dot{s}=-\epsilon sgns-f(s),\epsilon>0s˙=−ϵsgns−f(s),ϵ>0上式中f(0)=0f(0)=0f(0)=0,当s≠0s≠0s=0时，sf(s)>0sf(s)>0sf(s)>0,与上述三种趋近率类似，也有可以使系统达到滑模动态的条件ss˙<0s\dot{s}<0ss˙<0

三、滑模方法设计转艏力矩

假定需要镇定的误差为：
ψe=ψ+β−ϕF−δ\psi_{e}=\psi+\beta-\phi_{F}-\deltaψe=ψ+β−ϕF−δ选取的滑模函数为：
s=k1ψe+ψ˙es=k_{1}\psi_{e}+\dot{\psi}_{e}s=k1ψe+ψ˙e采用基于趋近率的滑模控制，选取指数趋近率：s˙=−ϵtanh(s)−k2s,ϵ>0,k>0\dot{s}=-\epsilon tanh(s)-k_{2}s,\epsilon>0,k>0s˙=−ϵtanh(s)−k2s,ϵ>0,k>0此处对原本的趋近率做出了改进，用连续的双曲正切函数代替了符号函数，能够有效减小抖振现象，大大降低了趋近滑模面时的超调现象。
s˙=k1ψ˙e+ψ¨e=k1ψ˙e+ψ¨+β¨−ϕ¨F−δ¨\dot{s}=k_{1}\dot{\psi}_{e}+\ddot{\psi}_{e}=k_{1}\dot{\psi}_{e}+\ddot{\psi}+\ddot{\beta}-\ddot{\phi}_{F}-\ddot{\delta}s˙=k1ψ˙e+ψ¨e=k1ψ˙e+ψ¨+β¨−ϕ¨F−δ¨运动学方程为：ψ˙=qsinϕsecθ+rcosϕsecθ\dot{\psi}=qsin\phi sec\theta +rcos\phi sec\thetaψ˙=qsinϕsecθ+rcosϕsecθ一般忽略横摇运动，ϕ=0\phi=0ϕ=0,只考虑水平面运动，即θ=0\theta=0θ=0，则运动学方程变为：ψ˙=r\dot{\psi}=rψ˙=r将其带入一阶导得到：s˙=k1ψ˙e+r˙+β¨−ϕ¨F−δ¨\dot{s}=k_{1}\dot{\psi}_{e}+\dot{r}+\ddot{\beta}-\ddot{\phi}_{F}-\ddot{\delta}s˙=k1ψ˙e+r˙+β¨−ϕ¨F−δ¨结合指数趋近率有：−ϵtanh(s)−k2s=k1ψ˙e+r˙+β¨−ϕ¨F−δ¨-\epsilon tanh(s)-k_{2}s=k_{1}\dot{\psi}_{e}+\dot{r}+\ddot{\beta}-\ddot{\phi}_{F}-\ddot{\delta}−ϵtanh(s)−k2s=k1ψ˙e+r˙+β¨−ϕ¨F−δ¨
动力学方程为：
N=mrr˙+drN=m_r\dot{r}+d_{r}N=mrr˙+dr进行简单的化简：
r˙=N−drmr\dot{r}=\frac{N-d_{r}}{m_{r}}r˙=mrN−dr再次带入一阶导中，得到：
−ϵtanh(s)−ks=k1ψ˙e+N−drmr+β¨−ϕ¨F−δ¨-\epsilon tanh(s)-ks=k_{1}\dot{\psi}_{e}+\frac{N-d_{r}}{m_{r}}+\ddot{\beta}-\ddot{\phi}_{F}-\ddot{\delta}−ϵtanh(s)−ks=k1ψ˙e+mrN−dr+β¨−ϕ¨F−δ¨需要设计的滑模控制率为：
N=mr(−k1ψ˙e−ϵtanh(s)−k2s−β¨+ϕ¨F+δ¨)+drN= m_{r}(-k_{1}\dot{\psi}_{e}-\epsilon tanh(s)-k_{2}s-\ddot{\beta}+\ddot{\phi}_{F}+\ddot{\delta})+d_{r}N=mr(−k1ψ˙e−ϵtanh(s)−k2s−β¨+ϕ¨F+δ¨)+dr

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