摘要

良率定义为所考虑的电路在容差范围内符合设计规范的概率。相关系数较高的布局具有较少的失配和较小的电容比变化，从而实现更高的良率性能。本研究提出了一种新的优化标准，可以快速确定放置是否是最佳的。优化标准导致 C 条目和分区子阵列概念的发展，这可以显着减少在足够大的阵列大小上寻找最佳/接近最佳位置的搜索空间。

背景

随着半导体技术的不断缩小，工艺变化问题变得不可避免。预计工艺变异不可控问题将变得更加严重。因此，由工艺变化引起的良率损失成为一个重要的设计问题。为了将工艺变异带入早期设计阶段，必须将工艺变异信息注入电路模拟器。
在电路仿真中通常会考虑工艺角。它使用器件工艺边界来模拟良率损失现象。但是，设备边界通常不是性能边界。表演空间可能在角落空间之内或超出角落空间 [Luo et al. 2008]，这会导致过度杀伤或超车。为了提高良率分析的准确性，通常采用耗时的蒙特卡罗分析。

调研

器件失配可归因于两种错误来源：随机失配和系统失配 [Liu et al. 2008]。随机失配通常是由工艺变化引起的；另一方面，系统性不匹配主要是由于非对称布局和处理梯度造成的。许多模拟集成电路的关键性能，例如模数转换器 (ADC) 和采样保持，与准确的电容比直接相关 [McNutt 等人。 1994]。电容比失配问题可以通过使用并联单元电容来缓解 [Khalil 等人。 2005]，单位电容阵列的精度可以通过常见的质心结构进一步提高[Khalil et al。 2005；哈利勒和德苏基 2002；马等人。 2007；黑斯廷斯 2000]。这些结构显着降低了制造过程中梯度和随机误差的影响。

公共质心结构中的完美匹配器件必须满足以下四个条件 [Hastings 2000]：重合、对称、分散和紧致。制定了许多布局规则，以指导设计人员开发满足这些条件的适当布局 [Khalil 等人。 2005；哈利勒和德苏基 2002；马等人。 2007；黑斯廷斯 2000]。但是，布局形状必须是矩形才能满足这四个条件。此外，如果不执行耗时的良率评估过程，通常很难确定哪种条件可以实现更好的匹配 [Chen et al. 2009、2010；罗等人。 2011]。

实际上，设备之间存在一些高度依赖于它们的空间位置的相关性[Xiong et al。 2007；多赫等人。 2005]。较近的设备通常具有相似的参数变化。已经表明，具有较高相关系数的布局具有较少的失配和较小的电容比变化，因此具有较高的良率性能 [Luo et al. 2008]。 Chen等人提出了优化准则。 [2010] 为两个电容器的比率或连续电容器比率（多个电容器）快速生成具有最高/接近最高相关系数的最佳/接近最佳布局。该算法已成功应用于电荷再分配 (CR) 逐次逼近寄存器 (SAR) 模数转换器 (ADC) 设计，以提高良率 [Lin 等人。 2011]。无需蒙特卡罗模拟即可生成最佳/接近最佳位置。

然而，陈等人的优化标准。 [2010] 和林等人。 [2011] 过于简单化了。较高的相关系数导致较低的比率方差可能并不总是正确的。皮尔逊相关系数的使用 [Chen et al. 2010]定义优化标准过于乐观。稍后将给出反例来说明矛盾。另一方面，Lin 等人的优化标准。 [2011] 仅考虑 R 的最大化，即任何一对单位电容之间的互相关系数之和。还将提供反例以表明具有较大 R 值的放置可能并不总是导致较小的标准偏差或较小的方差。这导致了一种新的优化标准的发展，该标准可以快速有效地识别更好的位置。最终的放置由蒙特卡洛模拟确认。基于优化标准，开发了一个简单而有效的布局生成过程。

下一节将简要回顾空间相关性对产量分析的影响以及空间校正模型。此外，提出了优化准则[Chen et al. 2010；林等人。 2011] 也进行了讨论。第 3 节介绍了建议的优化标准。基于优化标准，第 4 节讨论了电容器放置的生成。最后，第 5 节给出了简短的结论性评论。

主要方法

令 μCs 和 μCt 分别为两个电容器 Cs 和 Ct 的标称值。 Var(Cs)和Var(Ct)分别是它们的方差，Cov(Cs,Ct)是协方差。电容比的变化 Var(Cs/Ct) 可以表示如下 [Luo et al. 2008]。

让 Cs 和 Ct 分别用 p 和 q 个单位电容器 (UC) 实现，即 Cs ={Cs1, Cs2,…,Csp} 和 Ct ={Ct1, Ct2,…,Ctq}。比率为 Cs : Ct = p : q。不失一般性，将 (p + q) 个 UC 放置在 m×n 阵列结构上。自相关 ρs(i, j) 和 ρt(i, j) 分别表示 Csi 和 Csj 之间、Cti 和 Ctj 之间的相关系数，而互相关 ρst(i, j) 是之间的相关系数 Csi 和 Ctj [罗等人。 2008]。令Scs和Sct分别为Cs和Ct的总自相关系数之和，Scst为互相关系数之和，即

基于方程式。（5），罗等人总结了以下性质。 [2008] 较高的相关系数 ρcst 导致较小的 Var(Cs/Ct)。由于电容比的方差越小，通常会导致良率越高，因此相关系数越高，良率越高。因此，Chen 等人采用了相关系数 ρcst。 [2010] 快速确定哪种布局可以实现更高的良率性能，而无需执行耗时的 Monte-Carlo 模拟。

为了处理连续比率 C1:C2:…:CN，多个电容器的比率，最近提出了几个评估函数 [McNutt 等人。 1994；哈利勒等人。 2005；哈利勒和德苏基 2002；马等人。 2007]；已经提出了一种基于空间相关性的有效电容器放置方法[Chen et al。 2010] 并实施到 SAR ADC 的设计 [Lin et al. 2011]。更具体地说，设 ρij 是一对电容器 Ci 和 Cj 的相关系数。制定放置优化问题以最大化 R [Chen et al。 2010]，其中

具有最大 R 的 UC 布局将是最佳或接近最佳的布局。

优化标准

我们首先介绍了用于检验 Chen 等人的优化标准的方差分析。 [2010] 和林等人。 [2011] 为一对电容比和一个连续电容比。然后，[Chen et al. 中提出的两个标准的反例。 2010；林等人。 2011]如图所示。最后，提出了一种新的优化准则，并证实了蒙特卡罗模拟结果。

图 1 显示了一个 CR-SAR-ADC [Lin 等人。 2011]由电容器阵列、比较器和控制单元组成。考虑一个包含电容器 Ci, i = 0, 1,… , N 的 N 位 SAR ADC。电容比为 C N : C N − 1 : . . . : C 2 : C 1 : C 0 = 2 N − 1 : 2 N − 2 : . . . : 2 : 1 : 1 C_N : C_{N−1} : ... : C_2 : C_1 : C_0 = 2^{N−1} :2^{N−2} : ... :2:1:1 CN:CN−1:...:C2:C1:C0=2N−1:2N−2:...:2:1:1
令 C∗ i 表示除 Ci 之外的所有电容的总和，i = 1, 2,…, N。

示例 1. 考虑展示位置 [Lin et al. 2011] 在图 2(a) 和 2(b) 中，连续比率 C4:C3:C2:C1:C0 = 8:4:2:1:1。单位电容Cu为100 fF，单位电容标准差为10 fF，单位相关系数ρ0为0.9。可以生成一个 16×16 的相关系数矩阵 [Luo et al. 2008]并计算电容的方差和协方差。对于图 2© 中的布局，C∗ 4 = C0 + C1 + C2 + C3 和 CTotal = C4 + C∗ 4。 (2)，我们得到 Var(C4) = Var(C∗ 4) = 5228.5，Cov(C4, C∗ 4) = 5186.6。通过方程式。 (3)、方差比 Var(C4/CTotal ) = 8.1913e-6。因此，标准偏差为 Std(C4/CTotal) 为 0.0029。类似地，可以计算 C1/CTotal 、 C2/CTotal 和 C3/CTotal 的标准差，以及展示位置的 R 值，如表 I 所示。 C1/CTotal 、 C2/CTotal 、 C3/ 的平均值 CTotal 和 C4/CTotal 分别为 0.0625、0.125、0.25 和 0.5。请注意，为简单起见，系统失配被忽略，因为阵列尺寸很小，并且具有偶数个单元电容器的电容器（C2、C3、C4）具有共同的中心点。

类似地，可以推导出其他布局的标准差，如表 I 所示。结果表明，图 2(a) 和 2(b) 中的两个布局的 R 值都高于图 2© 中的 R 值，因此是最高有效位 (MSB) 的标准偏差，即 C4/CTotal 。当位数增加时，情况变得很重要。
为了确认表一中计算值的正确性，进行了蒙特卡洛（MC）模拟来计算方差。对于 10,000 个样本，模拟结果列于表 II。

让 Cs 和 Ct 用 4 和 26 个单位电容器来实现，它们放置在 6×5 阵列结构上，即 p = 4 和 q = 26，图 3 显示了三种不同的位置，相关的值在表 III 中计算和列出 , 其中 μCu = 100 fF, σCu = 10 fF 并且假设 ρ0 = 0.5。结果表明，图 3(b) 中的放置导致最高的相关系数 ρcst 和最低的比率方差 Var(Cs/Ct)。这表明相关系数较高的位置会导致比率的方差较低 [Luo et al. 2008]。

然而,安置在图3 (a)和3 ©,前者有ρcst低于后者,由结论(罗et al . 2008年)前的方差比率应该高于后者。表三示,前者有较低的Var (Cs / Ct)。这与罗的结论et al相悖。[2008]。事实上,获得更高的ρcst, Eq。(5)条款(p + 2 scs)∗(q + 2 sct)必须减少,和术语Scst应该增加。此外,获得较低的Var (Cs / Ct), Eq。(3), (p + 2 scs)和(q + 2 sct)必须降低,Scst应该增加。两种情况下可能不是线性相关的。因此,标准可能不总是对的。为了进一步验证仿真结果的例子,10000个样本的MC模拟是采用各种ρ0,如图4所示。

优化标准

本小节介绍了建议的优化标准。
属性 2. 让 Cs 和 Ct 分别用 p 和 q 单位电容器实现，并且让 (p + q) 单位电容器完全放置在 n×m 阵列上。总和是这个数组上 (p + q) 个单元的任何位置的常数。

示例 2. 考虑图 5(a) 和 5(b) 中的两个不同位置，其中 p = q = 4 在 2×4 数组结构上。它们的相关矩阵分别如图 5© 和 5(d) 所示。

基于图 5 中的相关矩阵，两种情况的相关系数可以表示如下。

设 k(a) 为图 5© 中矩阵所有项的系数和，则
证明（属性 2）。如果两个布局有相同数量的(p+q)个单元电容放置在同一个阵列上，则它们对应的相关矩阵具有置换关系，即一个矩阵可以从另一个矩阵的置换得到。因此，两个矩阵中所有条目的相关系数的总和是相同的。
基于属性 2，一个新的优化准则可以概括为以下属性。

属性 3. 给定一个 n×m 阵列，电容器 Cs 和 Ct 分别包含 p 和 q 单位电容器。在同一阵列上的布局中，具有较低 ω 值的布局将导致比率变化较小，

属性 4. 令 p = 1，产生一个布局，即 Cs 的唯一一个单位电容器放置在阵列的 C-entry/C-entries 上，而 Ct 的 q 个单位电容器放置在其余的数组的条目。然后，该布局导致同一阵列上的布局之间的比率变化最小。
对于 p = 2，令 (r1, s1) 和 (r2, s2) 为 Cs 的两个单位电容器在 2R×2C 阵列上的位置。通过方程式。 (17)，我们得到
考虑 p = 2 的 8×8 数组。我们将数组划分为两个 8×4 子数组，如图 7(a) 所示。 Cs 的两个单位电容器将分别放置在两个子阵列的 C 条目上，用黄色标记。类似地，对于 p = 4，令 (ri, si), i = 1,2,3,4 为 Cs 的两个单位电容器在 2R×2C 阵列上的位置。通过方程式。 (17)，请注意，分区子阵列是正方形或矩形。对于C-entries，放置符合紧致、对称和分散的规则。如果选择靠近中心的C-entries，则放置符合重合规则。将两个单位电容器放置在两个子阵列上，每个子阵列有四个条目，将产生 16 种组合，称为候选放置。这表明最佳位置的搜索空间从 2-out-of-64 的数量显着减少，C(64,2) = 2016 到 C(4,1)*2 = 16，对于 8- by-8 数组。事实上，由于阵列的对称性，这 16 个候选布局只能分为六个不同的布局，如图 8 所示，其中放置了 p = 2 个单位电容器

通过方程式。 (18)，我们可以很容易地发现图 8(a) 和 8(d) 中的放置具有相同的值 [f(r1, s1) + f(r2, s2)]。然而，图 8(d) 中的 Scs 比图 8(a) 中的低，因此导致 ω2 较低。类似地，对于图 8(b) 和 8(e) 中的放置对以及图 8© 和 8(f) 中的放置对，图 8(e) 中的放置（图 8(f)）具有较低的 ω2 比图 8（b）（图 8（c））。此外，两个单元电容放置在距离较远的位置也会导致Scs较低。图 8(d)-8(f) 中的放置符合公共质心的分散和对称规则。
图 9(a) 显示了所有可能布局的曲线族。最佳位置是图 8(f) 中的位置。图 9(b) 将放置的比率方差与图 8(d)-8(f) 中的模式进行了比较。结果表明，图 8(d) 是 ρ0 =0 到 0.5 的最优解，而图 8(e) 是 ρ0 > 0.8 的最优解。因此，图 8(d)-8(f) 中的候选布局是取决于 ρ0 值的最佳/接近最佳解决方案。

类似地，图 10(a) 显示了一个 4×4 阵列，该阵列被划分为四个子阵列。图 10(b) 说明了一个候选位置。图 10© 绘制了对于将 p = 4 放置到这个 4×4 数组的所有可能放置，ρ0 = 0 到 1 的比率的方差。结果表明，图 10(b) 中的候选位置是最佳解决方案。

结论

良率定义为所考虑的电路在容差范围内符合设计规范的概率。然而，在实践中，一个电路通常包括几个设计变量，当考虑到工艺变化时，这些设计变量被视为随机变量。因此，随机变量的方差可能会影响电路良率。相关系数较高的布局具有较少的失配和较小的电容比变化，从而实现更高的良率性能。本研究提出了一种新的优化标准，该标准可以显着减少为足够大的阵列尺寸寻找最佳/接近最佳解决方案的搜索空间。应该提到的是，结果阵列的可路由性也是一个需要解决的重要问题。 Huang等人提出了一种简单的路由方案。 [2011]；然而，为了进一步提高良率，正在开发系统地考虑电容器阵列的布局和布线。

尽管前面的讨论将重点放在 2R×2C 数组上，但 C 项的概念可以应用于任何数组大小。正在开发一个简单而有效的自动布局生成过程 [黄要出现]，其中正在实施分区和合并方案以满足重合、分散、对称和紧凑的规则。

值得跟进

公共质心结构中的完美匹配器件必须满足以下四个条件 [Hastings 2000]：重合、对称、分散和紧致。[HASTINGS, A. 2000. The Art ofAnalog Layout. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ.]
该算法已成功应用于电荷再分配 (CR) 逐次逼近寄存器 (SAR) 模数转换器 (ADC) 设计，以提高良率 [Lin 等人。 2011]。无需蒙特卡罗模拟即可生成最佳/接近最佳位置。[LIN,C.-W.,LIN,J.-M.,CHIU,Y.-C.,HUANG,C.-P., AND CHANG, S.-J. 2011. Common-centroid capacitor placement considering systematic and random mismatches in analog integrated circuits. In Proceedings ofthe 48rd Annual Design Automation Conference. 528–533.
简单的route模式 HUANG,C.-C.,CHEN,J.-E.,LUO,P.-W., AND WEY, C. L. 2011. Yield-aware placement optimization for switched-capacitor analog integrated circuits. In Proceedings of the 24th IEEE International SOC Conference.170–173. DOI: http://dx.doi.org/10.1109/SOCC.2011.6085127.
分区和合并 HUANG, C.-C. To appear. Common-centroid-based unit capacitor placement generation for switched-capacitor integrated circuits, Ph.D. dissertation, Department ofElectrical Engineering, National Central University, Jhongli, Taiwan.

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