非对称加密

非对称加密（也叫公钥加密）系统的密钥始终以（公钥，私钥）对的形式出现。公钥密码系统提供数学框架和算法来生成公钥+私钥对，公钥通常与所有人共享，而私钥则保密。对于一般加解密而言，通常明文使用公钥加密后，只有私钥拥有者才能解密获得明文消息。公钥密码系统在设计时就确保了几乎不可能从其公开的公钥逆向演算出对应的私钥。

比较著名的非对称加密算法包括：RSA、ECC（椭圆曲线密码学）、ElGamal、Diffie-Hellman、ECDH、ECDSA 和 EdDSA等。主要用于加密和解密，签名与验证，密钥交换。目前流行的公钥密码系统基本都依赖于 IFP（整数分解问题）、DLP（离散对数问题）或者 ECDLP（椭圆曲线离散对数问题）

文章主要介绍DLP问题，以及如何在charm中实现循环群的运算

DLP问题

离散对数问题指的是， $x^{a} =b$ ，在已知x与a的情况下求b是好求的；若是已知x与b，求a是困难的。如果给定整数x、a、b，则求 $a=log_{x}^{b}$ 就是离散对数问题。离散对数问题是定义在一个群上的，这里取 $Z/pZ$ ，这里p是素数，关于乘法构成循环群（具体证明不多介绍）

证明与计算(2): 离散对数问题(Discrete logarithm Problem, DLP) - ffl - 博客园

这篇博客对于循环群怎么计算，有比较清楚的解释。

charm下实现循环群定义

我们一般将循环群 $Z/pZ$ 同构于 $Z_{p}$ 域，循环群G，至少有一个生成元<g>，循环群中的每个元素都可以用 $g^{^{x}}$ 表示。


import numpy as np
from charm.toolbox.integergroup import IntegerGroup
import charm
from charm.core.math.integer import getMod
import math
import random
IntegerGroupElement = charm.core.math.integer.integerdef generate_group(sec_param):"""Generates a Schnorr mod p where p is a prime ofbit-size equal to sec_param生成一个随机的循环群，其中sec_param是安全参数Args:sec_param (int): security parameter, bit-size of pReturns:Tuple(): _description_"""group = IntegerGroup()group.paramgen(sec_param)return groupdef get_random_generator(group):'''生成随机的循环群的生成元'''return group.randomGen()def get_modulus(element: IntegerGroupElement) -> int:"""From a mod N returns N从一个循环群生成元取出模的数Args:element (IntegerGroupElement): Group element of form a mod NReturns:int: Modulus of modular expression, a mod N -> N"""mod = int(getMod(element))return mod

运行上面定义的函数生成循环群，并返回生成元g与模p

sec_param = 127
group = generate_group(sec_param)
g = get_random_generator(group)
p = get_modulus(g)
print("p={}, g={}".format(p, g))

将任意整数映射到循环群中

def encode_vector_to_group_elements(vector, group: IntegerGroup):encoded_vector = []for i in range(len(vector)):encoded_vector.append(encode_as_group_element(vector[i], group))return encoded_vectordef encode_as_group_element(x: int, group: IntegerGroup):return group.encode(int_to_bytes(x))def int_to_bytes(x: int) -> bytes:return x.to_bytes((x.bit_length() + 7) // 8, byteorder='big')x = random.randint(1, 256)
a = encode_as_group_element(x, group)
a_decode = decode_from_group_element(a, group)
print("x={}, x_encode={}, x_decode={}".format(x, a, a_decode))

测试定义的编码解码函数可不可以把任意整数映射到循环群中

def enoder_decoder_vector(sec_param):group = generate_group(sec_param)g = get_random_generator(group)p = get_modulus(g)print(g, '\n', p)A = np.random.randint(1, 256, size=(2, 2))# print(A, '\n', A.dtype)A_int = []for i in range(2):for j in range(2):A_int.append(A[i][j].item())# print(A_int, '\n', type(A_int[0]))print(A_int)A_encode = encode_vector_to_group_elements(A_int, group)# print(len(A_encode))print(A_encode, type(A_encode))A_decode = decode_vector_from_group_elements(A_encode, group)print(A_decode)# decode_A = decode_vector_from_group_elements(A_encode, group)# print(decode_A)return Trueev = enoder_decoder_vector(127)

结果显示成功了

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