文章目录

2 思路
3 求解思路
4 公式总结
- 公式
- 将公式化成矩阵的形式
- 根据最小二乘法求解出误差X
- 精度分析
计算

#1 问题

已知：

已知点的坐标A1,A2,A3,A4,A5,A6
已知点与待定点的距离d1,d2,d3,d4,d5,d6

求解待定点的坐标

2 思路

利用未知参数表示的观测值方程：

未知参数有：

N点坐标X,Y
误差项vi

求解未知数只需要3个方程
即3个方程有唯一解，3个以上的方程有多个解

But：在实际项目中，观测值d含有误差，那么如何确定最佳解

利用最小二乘法估计最优解，中误差指标来评定其精度
最小二乘法：控制最小的误差，使结果与真值接近。拟合多个解，再得出最优解
如何控制最小误差呢：

V观测值改正数矩阵
P观测值得权阵（权重矩阵，权重相同可为单位矩阵）

3 求解思路

现在误差方程为非线性（二次方程），必须转成一次得到简化形式，才可以使用最小二乘法原理

令分别为待定坐标的近似值、修正值
将式子用泰勒展开取一次项（降幂），得到一次的方程式：
最后，根据最小二乘平差求解未知数：
精度分析：单位权中误差

附：泰勒展开公式

4 公式总结

公式

其中：

已知
待定坐标N的近似值(X0,Y0)
其他点坐标(Xi,Yi)
各点到N的距离di
未知

将公式化成矩阵的形式

其中：

注意：L最后还需要乘一个1000，换成mm单位，其为误差的意思

根据最小二乘法求解出误差X

精度分析

单位权中误差

计算

xi，yi，x0，y0，di为已知数–>根据以上公式求解出，其他列–>写出A、L–>根据公式，求解出X（误差值）

使用Excel计算相关参数：

得到A,L，根据最小二乘法求解得（使用matlab计算）：

X =-2.511060.63905

经修正后的待定点坐标为：之前L转成了mm，这里也需要除以1000

X = X0 -2.51106/1000
Y = Y0 +0.63905/1000

参考文章：http://mp.weixin.qq.com/s/MSswKzWuziBHEvbZbEkeVw

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