1.2 logistic 回归

视频：第二周神经网络基础

整理：飞龙

logistic 回归属于广义线性回归。所谓广义线性回归，就是在线性回归的模型上加一些东西，使其适应不同的任务。

logitic 回归虽然名字里有回归，但是它解决的是二元分类问题。二元分类问题中，标签只有两个值。一个典型的二元分类是输入一张图片，判断是不是猫。

首先来看假设，我们的假设是这样的：

P(y=1|x)=σ(θTx)

P(y=1 | x) = \sigma(\theta^T x)

某个样本 (x,y)(x,y) 是正向分类的概率是 xx 乘权重 θ\theta 再套个 sigmoid 函数，非常简单。这两个东西都是列向量。

sigmoid 函数用 σ(x)\sigma(x) 表示，图像是 S 型的，值域是 (0,1)(0,1)，正好符合概率的要求。它的导数用函数值来表达更加方便，dσdx=σ(1−σ)\frac{d\sigma}{dx} = \sigma(1-\sigma)。

注：

我的习惯是，把 ww（权重）和 bb（偏置）打包在一起，称为 θ\theta，因为这样节省很多计算。而且易于扩展，如果你需要偏置项，给 ww 多加一项，给 xx 添加一个 11，如果不需要，保持原样即可。

为了找出最优的 θ\theta，像通常一样，我们需要一个损失函数，然后使其最小。

z=θTxa=σ(z)l=−ylog(a)−(1−y)log(1−a)

z = \theta^T x \\\\ a = \sigma(z) \\\\ l = - y \log(a) - (1-y) \log(1-a)

这个函数为什么能用，需要解释一下。当 yy 是 11 的时候，l=−log(a)l = -\log(a)。如果我们要使 ll 最小，就是使 aa 最大。因为 sigmoid 函数最大值为 11，所以实际上，我们使 aa 接近 11。

当 yy 是 00 的时候，l=−log(1−a)l = -\log(1-a)。同理，我们使 aa 最小，因为 sigmoid 函数最小值为 00，就是使 aa 接近 00。

无论如何，我们都使 aa 尽可能接近 yy。

我们需要一个大的损失函数，衡量模型在所有样本上的表现。我们用 x(i)x^{(i)} 表示第 ii 个样本的特征。

J=−∑i(y(i)log(a(i))+(1−y(i))log(1−a(i)))

J = - \sum_i(y^{(i)} \log(a^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log(1-a^{(i)}))

然后我们需要求 JJ 对 θ\theta 的导数。

dJda(i)=1−y(i)1−a(i)−y(i)a(i)da(i)dz(i)=a(i)(1−a(i))dz(i)dθ=x(i)dJdz(i)=a(i)−y(i)dJdθ=∑i((a(i)−y(i))x(i))

\frac{dJ}{da^{(i)}} = \frac{1-y^{(i)}}{1-a^{(i)}} - \frac{y^{(i)}}{a^{(i)}} \\\\ \frac{da^{(i)}}{dz^{(i)}} = a^{(i)}(1-a^{(i)})\\\\ \frac{dz^{(i)}}{d\theta} = x^{(i)} \\\\ \frac{dJ}{dz^{(i)}} = a^{(i)} - y^{(i)} \\\\ \frac{dJ}{d\theta} = \sum_i((a^{(i)} - y^{(i)}) x^{(i)})

注：

（1）如果你拆成了 ww 和 bb，那么 dJdb\frac{dJ}{db} 就是 ∑idJdz(i)\sum_i \frac{dJ}{dz^{(i)}}，dJdw\frac{dJ}{dw} 和 dJdθ\frac{dJ}{d\theta} 一样。

（2）所有导数以及 JJ 都需要除以 ndatan_{data}，但为了简洁我省略了，下同。

（3）在机器学习（以及数值计算）中，没有必要区分导数和偏导数，导数可以看出偏导数的一元特例。所以这里我都使用了导数的符号。

我们可以看到最终的导数和线性回归一样，仍然是损失乘以特征再求和。

向量化

我的习惯是，将 x(i)x^{(i)} 按行堆叠变成 XX，也就是行是样本，列是特征，和咱们能够获得的绝大多数数据集一致。

X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⋮− x(i) −⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⋯|xj|⋯⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

X = \begin{bmatrix} \vdots \\\\ - \ x^{(i)} \ - \\\\ \vdots \end{bmatrix} \\\\= \begin{bmatrix} & | & \\\\ \cdots & x_j & \cdots \\\\ & | & \end{bmatrix}

由于 XX 按行堆叠，我们需要把它放在矩阵乘法的左边。这样出来的 ZZ 也是按行堆叠的。

Z=Xθ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⋮z(i)⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Z = X \theta \\\\ = \begin{bmatrix} \vdots \\\\ z^{(i)} \\\\ \vdots \end{bmatrix}

AA 相当于对 ZZ 的每个元素应用 sigmoid 函数，也是类似的结构：

A=σ(Z)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⋮a(i)⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

A = \sigma(Z) \\\\ = \begin{bmatrix} \vdots \\\\ a^{(i)} \\\\ \vdots \end{bmatrix}

接下来是损失函数 JJ：

J=−Sum(Y∗log(A)+(1−Y)∗log(1−A))

J = - Sum(Y \ast \log(A) + (1 - Y) \ast \log(1 - A))

其中 ∗\ast 表示逐元素相乘。

接下来是导数：

dJdZ=A−Y

\frac{dJ}{dZ} = A - Y

这个还是比较好求的。

dZdθ=XdJdθ=XT(A−Y)

\frac{dZ}{d\theta} = X \\\\ \frac{dJ}{d\theta} = X^T(A - Y)

这里有一个方法，就是核对矩阵的维数。我们已经知道 dJdθ\frac{dJ}{d\theta} 是两个导数相乘，并且 dJdZ\frac{dJ}{dZ} 是n_data x 1的矩阵，dZdθ\frac{dZ}{d\theta} 是n_data x x_feature的矩阵，dJdθ\frac{dJ}{d\theta} 是n_feature x 1的矩阵。根据矩阵乘法，它只能是 XT(A−Y)X^T(A - Y)。

注：

严格来讲，向量化的导数应该称为梯度。这个笔记中不区分这两个术语。

梯度下降法

在代数中，如果我们需要求出一个凸函数的最值，我们可能会使导数等于 0，然后解出方程。但在机器学习中，我们使用梯度下降法来求凸函数的最值。

梯度下降法是，对于每个自变量 xx，迭代执行以下操作：

x:=x−αdydx

x := x - \alpha \frac{dy}{dx}

其中 α\alpha 是学习率，一般选取 0 ~ 1 之间的值。

下面直观地解释一下。这是一个一元函数，它的形状是一个碗，或者山谷。

我们可以随便选一个点作为初始值。你可以选0，也可以选1或者随机值。这个无所谓，因为函数是凸的，沿任意路径下降都会达到全局最优值。

如果你的初始值在右侧，那么导数为正，减去它的一部分相当于向左移动了一小步。如果你的初始值在左侧，导数为负，减去它的一部分相当于向右移动了一小步。总之，这样会使 x<script type="math/tex" id="MathJax-Element-69">x</script> 向着全局最优的方向移动。

多元的凸函数是这样。如果你的每个自变量都减去它的导数（梯度）的一部分，那么所有自变量就相当于向着最陡的方向移动了一小步。如果你在一个山谷中，沿着最陡的方向向下走，就会到达谷底。

代码

向量化的公式很容易用 NumPy 代码来表示。

theta = np.random.rand(n_features, 1)for _ in range(max_iter):Z = np.dot(X, theta)A = sigmoid(Z)dJ_dZ = (A - Y) / n_datadJ_dtheta = np.dot(X.T, dJ_dZ)theta -= alpha * dJ_dtheta

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梯度下降法

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