刚体变换

平移和旋转

外参数矩阵测验

总结

刚体变换

现在，我们可以做全刚性变换（total rigid transformations）。所以全刚性变换，因此，如果我在A系统中有一些点（如图1），我首先必须旋转以在B系统中对齐（如图2），然后我必须通过B系统中A系统的任何偏移来抵消它（如图3），就是这个等式表示的。

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利用齐次变换，或者齐次坐标，我们可以一步完成。这里（如图1），我们有一个刚性变换这真的很好，right? 这里就是我们的点（如图2）。我们旋转它（如图3），然后变换它（如图4）。

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3 4

也就是说我们有一个矩阵（如图1）。right? 这部分是3×3矩阵（如图2）。这是一个3×1矩阵（如图3）。这是1×3的0（如图4）。这就是1（如图5）。所以总的变换矩阵是一个4×4矩阵。它做，旋转，传递，平移。很酷，tight? 它变得更好。感谢上帝。

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3 4

这里我已经写好了。在A坐标系中有P（如图1），用齐次坐标表示。这是我们的4×4变换矩阵（如图2）。这是B在B坐标系中的表达式（如图3）。

我把这个写成从A到B的变换（如图），

但是假设我想从B到A? Well，它可以写成从B到A的变换（如图1），在A坐标系中有一点P（如图2）。但是得到这个变换的方法就是把A到B求逆变换得到B到A（如图3），然后，这个变换把B坐标系的值转换回A坐标系（如图4）。

它的思想是我们的变换矩阵是，4×4的齐次变换，通常是可逆的（Invertible）。所以，一旦我们有了一个从相机到世界的框架，我们可以从一个世界到相机框架，或者反过来。齐次变换的可逆性非常强大，一直被使用。

平移和旋转

复习一下，平移和旋转。从坐标系A到坐标系B用非齐次或正则坐标表示。我们取点p在A坐标系中的位置（如图1），旋转它（如图2），然后平移它（如图3）。

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在齐次坐标下，我们把它写成这个矩阵。矩阵的左上角是旋转矩阵（如图1）而右边是平移向量（如图2）。

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关键是齐次坐标让我们可以把这个坐标变换写成一个矩阵，但是我已经说过四次了，所以你已经说了。最后，我们来谈谈从世界到相机框架。这是我们的方程，使用非齐次正则坐标（non-homogeneous regular coordinates）。这个想法是，如果我们有一些世界上点p（如图1），它在世界上的一个点的位置，我们必须旋转（如图2），定位它，要知道它在相机框架中的定向方式，然后，我们有从世界到相机框架的平移（如图3），okay?

所以，我们有这个难看的方程它会让我们从世界上的一点到摄像机中的一点，所以C坐标系中的p（如图1），现在是摄像机坐标系中的点。

在齐次坐标系中，它是这样表示的。左上角的3×3是坐标，右边的列是平移（如图）。这整个4×4矩阵被称为外部参数矩阵（extrinsic parameter matrix），okay? 它能把世界上的一点转换成相机框架中的一点。顺便说一下，底行不是很重要除非我们做逆变换，底行是这个方程可逆的原因。所以当我们做投影的时候我们会用到3×4矩阵而不是4×4矩阵，但是在下节内容之前不要担心这个。

外参数矩阵测验

这给我们带来了一个有趣的小测验。3x4的外部参数矩阵有多少个自由度?

A)12，有12个数。

B) 6,

c) 9，

d) 3

all right? 那么，答案是什么？答案仍然是6，还记得有6个自由度吗? 有，只有三个角，标题，俯仰，和滚动。欧拉，phi, kappa，等等。有三个角旋转矩阵的定义（如图1），所以这不是九个独立的数字，all right，只有三个角，然后有三个平移值（如图2），这就是为什么仍然有六个外部参数，即使我们可以使用一个3*4个，甚至是一个4 * 4。所以，我们只是把这六个数字转化成一个矩阵的形式使我们可以把它应用到一个坐标系中的点的位置上，从而得到另一个坐标系中的点的位置。

总结

这节内容就到此结束。不是真正意义上的校准，因为我们要做校准部分。我应该改一下题目，那是关于外在几何（extrinsic geometry）的。之后我们要做外部校准，我们要算出摄像机在世界上是如何定位的。当我们讨论从世界点映射到一个像平面上的一个位置时，我们需要回顾一下整个过程，all right。但是在我们能够做到这一点之前，我们将不得不谈论，一旦我在相机框架中有一个点的位置，那么这个点在图像中的哪个位置？这就是本质，我们将在下一内容中做到这一点。

当你还不能写出自己满意的程序时，你就不要去睡觉。

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