平滑和模糊

但我们不打算讲逆部分。相反，我们要讲的是傅里叶变换是如何显示频率变化的。假设有一个函数，这是一个函数。假设这是一个噪声信号。我想要一个光滑的版本。我该怎么做呢?

我们之前学过，可以用高斯核模糊它（如图）。用高斯核模糊是什么意思? 我们要把图像和高斯函数卷积。

但原来是高斯函数的傅里叶变换是高斯函数。好吧。这就是这里显示的。

那么傅里叶变换，如果这是h (x)，这是h (u)，这是另一个高斯函数（如图），

但是你会注意到这是除以 $\sigma^2$ ，这是乘以 $\sigma^2$ ，Okay，这就是这里要告诉你们的如果我有一个方差为 $\sigma^2$ 的高斯核（右上角的坐标图），那么我就得到了一个新的高斯函数（右下角的坐标图），抱歉，这是一个很糟糕的高斯函数，我得到了一个方差为1 / $\sigma^2$ 的高斯函数。

现在，如果你想一下，这有一点道理，对吧? 首先，我们考虑一个非常非常细的高斯函数。好吧，几乎是一种脉冲。记住，当你把一个函数与脉冲卷积时，你会得到原始函数? 这意味着你基本上保持所有的频率。如果核是一个很紧的小高斯函数（如图红色坐标），

我希望能得到几乎所有的频率。同样地，假设我的核非常非常厚的（如图），把一切都弄得模糊不清。那么，我期望的任何高频率几乎没有，只得到一个非常，非常低的频率。

这就是为什么傅里叶变换，这是一种考虑方法，厚高斯函数的傅里叶变换是瘦高斯函数，瘦高斯函数的傅里叶变换是厚高斯函数。记住，他们，他们来来回回。所以，当我们用高斯模糊这个函数时，我们要做的是用它的傅里叶变换乘以这个高斯函数的傅里叶变换（如图公式），它会做的是（坐标图），它会保持低值，它会降低高频率。它会通过乘法来降低高频。我们说这意味着它会衰减，这是我们使用的词，它会衰减高频。

2D 例子

所以我可以向你们展示一个2D的例子，也就是说，这里有一个图像，Okay？这里有一张原始图像，一些黑白水果的美丽小静物。这是它的傅里叶变换功率谱（如图），只是大小，所以我不给你们看相位。中间，记住，我们把原点放在中间，是低频。

你可以看到当你走到外面的时候它会下降，

现在，我们要用高斯模糊这个东西。我给你们展示的是高斯分布和整个图像的比例是一样的（如图）。所以这个高斯函数可能是15×15像素，但是它看起来很小，因为我们有很大尺寸的图像。但是它得到的是使图像有点模糊。

当我把高斯函数与原始图像进行卷积时，我得到了我们想要的结果，一个稍微模糊的图像（如图）。但是看看傅里叶空间发生了什么。

这个小高斯函数的傅里叶变换就是这个大的高斯函数，记住，我们说过，空间中的小高斯函数在频率上有一个大高斯函数。

然后用这个乘以这个（如图），

它要做的是要保持中间的区域，你看这里（如图），

但是它会减弱外面的区域，所以它会减少那些低频，

事实上，如果我想恢复这幅图像，我所能做的就是这里用傅里叶变换，乘以它，得到它，然后恢复（如图）。除了要进行复苏，仅仅看规模是不够的。我需要保留实部和虚部。我必须保持变换的相位不变。但这里，我只是想给你们展示不同频率功率的变化。

低通和高通滤波器

其实我们之前在介绍频率概念的时候已经讲过了。这里我们有一张图片，这个人造的场景，好的，这里我做的是，我取里面的部分，我把这些都设为0（如图），因此，我没有像一个漂亮的高斯那样逐渐减少它，而是无情的将所有的频率设置在一定直径之外的0，所以根本就没有高频成分。

你得到的是什么呢？是这个丑陋的东西，叫做振铃效应（如图），实际上这频率较低，但由于一些轻微的变化（如图红色曲线），它不能用它需要的更高频率来抵消它们（如图1行2列），剩下的就是所谓的振铃，这就是当你精确地剪辑频率时发生的，我会在一分钟内用数学方法更好地定义它。

另一方面，如果我移除那些中心频率，我认为在图像处理领域，这就是我们所说的取芯，你拉出那个中心，你剩下的就是这个高频位，这很像边缘，我们知道有这个在频率和高频边缘之间的关系就是你得到这些陡峭的导数。

——学会编写自己的代码，才能练出真功夫。

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