第一题

Part a
Obvioulsy, EU=EW=0EU = EW = 0EU=EW=0,
VarU=Var(Y−Z)=1+1−2γ=2−2γVarW=Var(Y+Z)=1+1+2γ=2+2γVar U = Var(Y - Z) = 1 + 1 - 2\gamma = 2 - 2\gamma \\ Var W = Var(Y + Z) = 1 + 1 + 2\gamma = 2+ 2 \gammaVarU=Var(Y−Z)=1+1−2γ=2−2γVarW=Var(Y+Z)=1+1+2γ=2+2γ

So U∼N(0,2−2γ),W∼N(0,2+2γ)U \sim N(0,2-2\gamma),W \sim N(0,2+2\gamma)U∼N(0,2−2γ),W∼N(0,2+2γ).

Part b
Cov(U,W)=Cov(Y−Z,Y+Z)=Var(Y)−Var(Z)+Cov(Y,Z)−Cov(Y,Z)=0Cov(U,W) = Cov(Y-Z,Y+Z) = Var(Y) - Var(Z) + Cov(Y,Z) - Cov(Y,Z) = 0Cov(U,W)=Cov(Y−Z,Y+Z)=Var(Y)−Var(Z)+Cov(Y,Z)−Cov(Y,Z)=0

Notice they are bivariate normal, so they are independent.

Part c
参考UA MATH564 概率论VI 数理统计基础2 多元正态分布中正态分布的条件分布：Y=(Y1′,Y2′)′,μ=(μ1′,μ2′)′,Y1,μ1∈Rr×1,Y2,μ2∈R(m−r)×1Y = (Y_1',Y_2')',\mu = (\mu_1',\mu_2')',Y_1,\mu_1 \in \mathbb{R}^{r \times 1},Y_2,\mu_2 \in \mathbb{R}^{(m-r) \times 1}Y=(Y1′,Y2′)′,μ=(μ1′,μ2′)′,Y1,μ1∈Rr×1,Y2,μ2∈R(m−r)×1，AA′=[V11V12V21V22]AA' = \left[ \begin{matrix} V_{11} & V_{12} \\ V_{21} & V_{22} \end{matrix} \right]AA′=[V11V21V12V22]，V11∈Rr×r,V22∈R(m−r)×(m−r),V12∈Rr×(m−r),V21∈R(m−r)×rV_{11} \in \mathbb{R}^{r \times r},V_{22} \in \mathbb{R}^{(m-r)\times (m-r)},V_{12} \in \mathbb{R}^{r \times (m-r)},V_{21} \in \mathbb{R}^{(m-r) \times r}V11∈Rr×r,V22∈R(m−r)×(m−r),V12∈Rr×(m−r),V21∈R(m−r)×r，则
E[Y1∣Y2]=μ1+V12V22−1(Y22−μ2)Var(Y1∣Y2)=V11,2=V11−V12V22−1V11E[Y_1|Y_2] = \mu_1 + V_{12}V_{22}^{-1}(Y_{22} - \mu_2) \\ Var(Y_1|Y_2) = V_{11,2} = V_{11} - V_{12}V_{22}^{-1}V_{11}E[Y1∣Y2]=μ1+V12V22−1(Y22−μ2)Var(Y1∣Y2)=V11,2=V11−V12V22−1V11

Now compute
Cov(X,W)=Cov(X,Y+Z)=Cov(X,Y)=ρCov(X,W) = Cov(X,Y+Z) = Cov(X,Y) = \rhoCov(X,W)=Cov(X,Y+Z)=Cov(X,Y)=ρ

So
E[X∣W]=ρ2+2γWVar(X∣W)=1−ρ2+2γE[X|W] = \frac{\rho}{2+2\gamma}W \\ Var(X|W) = 1-\frac{\rho}{2+2\gamma}E[X∣W]=2+2γρWVar(X∣W)=1−2+2γρ

第二题

参考UA MATH564 概率论I 求离散型随机变量的分布1例3。

第三题

Part a
By LLN, 1n∑i=1nXi−1=1/Hn→pE(1/X1)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^{-1} = 1/H_n \to_p E(1/X_1)n1∑i=1nXi−1=1/Hn→pE(1/X1),
E(1/X1)=∫121xdx=ln⁡2E(1/X_1) = \int_1^2 \frac{1}{x}dx = \ln 2 E(1/X1)=∫12x1dx=ln2

By property of convergence in probability, Hn→p1/ln⁡2=cH_n \to _p 1/\ln 2= cHn→p1/ln2=c

Part b
参考UA MATH564 概率论V 中心极限定理中的Delta方法，
Zn=g(Xˉ)−g(μ)[g′(μ)]2σ2n→DN(0,1)Z_n = \frac{g(\bar{X})-g(\mu)}{\sqrt{[g'(\mu)]^2 \frac{\sigma^2}{n}}} \to_D N(0,1)Zn=[g′(μ)]2nσ2g(Xˉ)−g(μ)→DN(0,1)

Let Hn=11n∑i=1nXi−1,g(μ)=cH_n = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^{-1}},g(\mu) = cHn=n1∑i=1nXi−11,g(μ)=c,
σ2=E(1/X12)−(ln⁡2)2=∫121x2dx−(ln⁡2)2=12−(ln⁡2)2\sigma^2 = E(1/X_1^2) - (\ln 2)^2 = \int_1^2 \frac{1}{x^2}dx -(\ln 2)^2 = \frac{1}{2} - (\ln 2)^2σ2=E(1/X12)−(ln2)2=∫12x21dx−(ln2)2=21−(ln2)2

[g′(μ)]2σ2n=1μ4σ2n=1n12−(ln⁡2)2(ln⁡2)4\sqrt{[g'(\mu)]^2 \frac{\sigma^2}{n}} = \sqrt{\frac{1}{\mu^4} \frac{\sigma^2}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{\frac{1}{2} - (\ln 2)^2}{(\ln 2)^4}}[g′(μ)]2nσ2=μ41nσ2=n1(ln2)421−(ln2)2

So
n(Hn−1/ln⁡2)∼dN(0,12−(ln⁡2)2(ln⁡2)4)\sqrt{n}(H_n - 1/\ln 2) \sim _d N(0,\frac{\frac{1}{2} - (\ln 2)^2}{(\ln 2)^4})n(Hn−1/ln2)∼dN(0,(ln2)421−(ln2)2)

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