2015/5/3

这个题干有点意思，有一列随机变量但并不是互相独立的，知道第一个是均匀的，后续的条件分布给了。
Part a
E[Xn+1r∣Xn]=∫0cXnxr1cXndx=crXnr1+rE[X_{n+1}^r|X_n] = \int_{0}^{cX_n} x^r \frac{1}{cX_n}dx = \frac{c^rX_n^r}{1+r}E[Xn+1r∣Xn]=∫0cXnxrcXn1dx=1+rcrXnr

By the Iteration of expectation,
E[Xnr]=E[E[Xnr∣Xn−1]]=E[crXn−1r1+r]=cr1+rE[Xn−1r]E[X_n^r] = E[E[X_n^r|X_{n-1}]]= E[\frac{c^rX_{n-1}^r}{1+r}] = \frac{c^r}{1+r} E[X_{n-1}^r] E[Xnr]=E[E[Xnr∣Xn−1]]=E[1+rcrXn−1r]=1+rcrE[Xn−1r]

So
E[Xnr]=cr(n−1)(1+r)n−1EX1r=cr(n−1)(1+r)nE[X_n^r] = \frac{c^{r(n-1)}}{(1+r)^{n-1}} EX_1^r = \frac{c^{r(n-1)}}{(1+r)^n}E[Xnr]=(1+r)n−1cr(n−1)EX1r=(1+r)ncr(n−1)

Part b
Notice 3<c<2\sqrt{3} < c < 23<c<2 . Let r=1r=1r=1,
EXn=cn−12n=12(c2)n−1→0,asn→∞EX_n = \frac{c^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{2} (\frac{c}{2})^{n-1} \to 0,\ as\ n \to \inftyEXn=2ncn−1=21(2c)n−1→0, as n→∞

Let r=2r = 2r=2,
EXn2=(c2)n−13n=13(c23)n−1→∞,asn→∞EX_n^2 = \frac{(c^2)^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3} (\frac{c^2}{3})^{n-1} \to \infty,\ as\ n \to \inftyEXn2=3n(c2)n−1=31(3c2)n−1→∞, as n→∞

Part c （简单点的做法是取任意r≤1r\le1r≤1，用Markov不等式即可）
To show ∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0, ∃M>0\exists M>0∃M>0 such that
∑n=1∞P(∣Xn−0∣>ϵ)=∑n=1∞P(Xn>ϵ)<M\sum_{n=1}^{\infty} P(|X_n - 0|>\epsilon) =\sum_{n=1}^{\infty} P(X_n >\epsilon) <Mn=1∑∞P(∣Xn−0∣>ϵ)=n=1∑∞P(Xn>ϵ)<M

By Markov inequality
P(Xn>ϵ)≤EXnrϵr∑n=1∞P(Xn>ϵ)≤∑n=1∞EXnrϵr=12crϵr∑n=1∞(cr)n(1+r)n=12crϵrcr1+r−(cr1+r)∞1−cr1+rP(X_n >\epsilon) \le \frac{EX_n^r}{\epsilon^r} \\ \sum_{n=1}^{\infty}P(X_n >\epsilon) \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{EX_n^r}{\epsilon^r} = \frac{1}{2c^r\epsilon^r} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(c^r)^n}{(1+r)^n} = \frac{1}{2c^r\epsilon^r} \frac{\frac{c^r}{1+r} - (\frac{c^r}{1+r})^{\infty}}{1-\frac{c^r}{1+r}}P(Xn>ϵ)≤ϵrEXnrn=1∑∞P(Xn>ϵ)≤n=1∑∞ϵrEXnr=2crϵr1n=1∑∞(1+r)n(cr)n=2crϵr11−1+rcr1+rcr−(1+rcr)∞

Let cr<1+rc^r < 1+ rcr<1+r holds,
∑n=1∞P(Xn>ϵ)≤12crϵrcr1+r1−cr1+r=12ϵr(1+r−cr)\sum_{n=1}^{\infty}P(X_n >\epsilon) \le \frac{1}{2c^r\epsilon^r} \frac{\frac{c^r}{1+r} }{1-\frac{c^r}{1+r}} = \frac{1}{2\epsilon^r (1+r - c^r)}n=1∑∞P(Xn>ϵ)≤2crϵr11−1+rcr1+rcr=2ϵr(1+r−cr)1

By continuity, ∃r∗\exists r^*∃r∗ such that cr∗<1+r∗c^{r^*} < 1+ r^*cr∗<1+r∗, and for all rrr in the neighborhood of r∗r^*r∗
δ1<1+r−cr<δ2,∀δ2>δ1\delta_1<1+r-c^{r} < \delta_2,\forall \delta_2>\delta_1δ1<1+r−cr<δ2,∀δ2>δ1

Now fix δ1≥1/ϵr\delta_1 \ge 1/\epsilon^rδ1≥1/ϵr, then
12ϵr∗(1+r∗−cr∗)<∞\frac{1}{2\epsilon^{r^*} (1+r^* - c^{r^*})} < \infty2ϵr∗(1+r∗−cr∗)1<∞

2016/1/3

证明依概率收敛有几种不同的办法：用定义证明、证明均方收敛、证明几乎必然收敛、证明依分布收敛均可以说明依概率收敛，需要我们根据条件灵活选取方法。这里只有均值、方差的信息，所以显然是要我们证明均方收敛。

Compute
E(2n(n+1)∑j=1njXj)=2n(n+1)∑j=1njEXj=2n(n+1)n(n+1)2=1Var(2n(n+1)∑j=1njXj)=4n2(n+1)2[∑j=1nj2Var(Xj)]E \left( \frac{2}{n(n+1)}\sum_{j=1}^n jX_j \right) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{j=1}^n jEX_j = \frac{2}{n(n+1)} \frac{n(n+1)}{2} = 1 \\ Var\left( \frac{2}{n(n+1)}\sum_{j=1}^n jX_j \right) = \frac{4}{n^2(n+1)^2}\left[\sum_{j=1}^n j^2Var(X_j) \right]E(n(n+1)2j=1∑njXj)=n(n+1)2j=1∑njEXj=n(n+1)22n(n+1)=1Var(n(n+1)2j=1∑njXj)=n2(n+1)24[j=1∑nj2Var(Xj)]

Note that the variance of population is finite. Denote it as σ2\sigma^2σ2. As n→∞n \to \inftyn→∞
RHS=4σ2n2(n+1)2∑j=1nj2=4σ2n2(n+1)2n(n+1)(2n+1)6=2σ2(2n+1)3n(n+1)→0RHS = \frac{4\sigma^2}{n^2(n+1)^2}\sum_{j=1}^n j^2 =\frac{4\sigma^2}{n^2(n+1)^2} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2\sigma^2 (2n+1)}{3n(n+1)} \to 0RHS=n2(n+1)24σ2j=1∑nj2=n2(n+1)24σ26n(n+1)(2n+1)=3n(n+1)2σ2(2n+1)→0

So
2n(n+1)∑j=1njXj→p1\frac{2}{n(n+1)}\sum_{j=1}^n jX_j \to_p 1n(n+1)2j=1∑njXj→p1

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