CodeForces - 236D Let‘s Play Osu!(概率dp)

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题目大意：给出一个长度为 nnn 的字符串，第 iii 个位置有 pip_ipi 的概率为 OOO，有 1−pi1-p_i1−pi 的概率为 XXX，本题的贡献指的是，连续 OOO 的个数的平方，问贡献的期望是多少

题目分析：如果按照正常思路不难想到一个 n2n^2n2 的 dpdpdp，大概就是 dpi,jdp_{i,j}dpi,j 表示到了第 iii 个位置结束，选还是不选第 iii 个位置的期望，转移的话一层枚举位置，另一层枚举最后一个 OOO 的长度即可，不过很可惜这个题没法这样去想

考虑平方展开，假设 LLL 为原本的 OOO 的长度，当 L→L+1L \to L+1L→L+1 后，贡献会增加：
(L+1)2−L2=(L2+2L+1)−L2=2L+1\begin{aligned} &(L+1)^2-L^2 \\ &=(L^2+2L+1)-L^2 \\ &=2L+1 \end{aligned} (L+1)2−L2=(L2+2L+1)−L2=2L+1

如此一来我们就可以线性维护一下期望长度，利用期望长度来计算贡献了

期望长度的线性转移话可以参考概率 dpdpdp 的入门题目：SDUT - 2623 The number of steps

假设到了第 i−1i-1i−1 个位置的期望长度为 lenlenlen，那么到了第 iii 个位置时只有两种情况：

第 iii 个位置选择 OOO 与前面的 OOO 连起来，期望长度变为 len+1len+1len+1，概率为 pip_ipi
第 iii 个位置选择 XXX 与前面的 OOO 断开，期望长度为 000，概率为 1−pi1-p_i1−pi

而对于贡献来说，我们只需要统计一下每次增加的就可以了

代码：

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
char s[N];
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n;read(n);double cur=0,ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){double p;cin>>p;ans+=(cur*2+1)*p;//到了第i-1个位置的期望长度为cur，如果当前位置为O的话贡献会增加2*cur+1cur=(cur+1)*p+0*(1-p);//计算到了当前位置时的期望长度}printf("%.10f\n",ans);return 0;
}

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