图像传感器与信号处理——光学系统

图像传感器与信号处理——光学系统
- 1 光学系统性能相关参数
- - 1.1 焦距
  - 1.2 F数
  - 1.3 像差
  - 1.4 景深
  - 1.5 调制传递函数
- 2 光学系统设计相关参数
- - 2.1 透镜组合
  - 2.2 低通滤波器
  - 2.3 镀膜
  - 2.4 非球面镜
  - 2.5 角度波动

图像传感器与信号处理——光学系统

本文主要总结了图像传感器中光学系统相关知识，参考书籍为《数码相机中图像传感器和信号处理》，英文版为《Image Sensors And Signal Processing for Digital Still Cameras》。

1 光学系统性能相关参数

1.1 焦距

当物体离得很远时，光线从物体所在的一侧照射到薄透镜上，并以平行光束进入透镜。光束被透镜折射，并聚焦在距离透镜fff的一个点上，如下图所示，距离fff即为焦距。

对于一个薄透镜来说，焦距通过下式进行计算：1f=(n−1)⋅(1R1−1R2)\frac{1}{f}=(n-1) \cdot\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right) f1=(n−1)⋅(R11−R21)其中，R1R_{1}R1是物体所在一侧透镜的曲率半径，R2R_{2}R2是像所在一侧透镜的曲率半径，nnn是透镜的折射率。

对于一个具备一定厚度的透镜来说，焦距通过下式进行计算：1f=n−1R1+1−nR2+d(n−1)2nR1R2\frac{1}{f}=\frac{n-1}{R_{1}}+\frac{1-n}{R_{2}}+\frac{d(n-1)^{2}}{n R_{1} R_{2}} f1=R1n−1+R21−n+nR1R2d(n−1)2其中，ddd是透镜的厚度。通过上式可以看出凸透镜越厚，焦距越长。

对于已知焦距的两个透镜来说，组合焦距通过下式进行计算：1f=1f1+1f2−df1f2\frac{1}{f}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}-\frac{d}{f_{1} f_{2}} f1=f11+f21−f1f2d其中，如果用f1f_{1}f1表示第一个透镜的焦距，用f2f_{2}f2表示第二个透镜的焦距，用ddd表示两个透镜的间距。

1.2 F数

镜头的FFF数以上图中聚焦光束张角的一半θ′\theta^{\prime}θ′为自变量的函数表达式：F=12sin⁡θ′F=\frac{1}{2 \sin \theta^{\prime}} F=2sinθ′1由于镜头的亮度与光束的横截面积相关，镜头的亮度FFF数的平方成反比，这意味着FFF数越大，通过镜头的光量越少，所成的像就越暗。 FFF数理论上的最小值是0.5，而实际中，市面上最亮的照相镜头的FFF数大约是1.0，原因在于要对各种像差进行校正。

镜头的FFF数可以近似用下面的等式进行计算：F=fDF=\frac{f}{D} F=Df此时要求θ\thetaθ的值很小，DDD表示人射光束的直径。

镜头的有效FFF数考虑了成像距离对其造成的影响，计算公式为：F′=f+qD=(1+qf)⋅fD=(1+m)FF^{\prime}=\frac{f+q}{D}=\left(1+\frac{q}{f}\right) \cdot \frac{f}{D}=(1+m) F F′=Df+q=(1+fq)⋅Df=(1+m)F由该式得到的结论是离镜头越远，图像的亮度越低。

像平面的亮度EiE_{i}Ei可以近似用下面的等式进行计算：Ei=π4E0T(1(1+m)F)2E_{i}=\frac{\pi}{4} E_{0} T\left(\frac{1}{(1+m) F}\right)^{2} Ei=4πE0T((1+m)F1)2其中E0E_{0}E0为物体的亮度，TTT光学系统的透明度,这个等式给出了像中心的亮度，但是像边缘的亮度一般要比这个值低。这就是所谓的边缘照度衰减效应。对于一个非常薄的、不存在渐晕效应和畸变像差的镜头，其边缘照度衰减与cos⁡4θ\cos ^{4} \thetacos4θ成比例，其中θ\thetaθ是光束偏离物侧的被拍摄区（视野的一半）的光轴的角度，这被称为余弦四次方定律。

1.3 像差

镜头的理想成像应当满足以下几个条件：
（1）点所成像仍为点；
（2）平面所成像仍为平面；
（3）物体和它的成像形状一样。

当镜头成像不理想就产生了像差，当用多项式去近似球面（镜头的表面）时，最多用到三阶多项式的像差称为三阶像差，三阶像差一共有如下五类：
（1）球面像差：由镜头的球形表面引起的．这意味着光轴上的点光源形成的像不能聚焦到一个点上，这可以通过减小光圈尺寸来校正。
（2）彗星像差：对于光轴外的点光椒，会产生彗星状的带有尾巴的光斑，这通常也可以通过减小光圈尺寸来校正。
（3）像散：点光源被投影成线或者椭圆所导致的像差。受到焦点的影响，线的形状
像是旋转了90度（例如垂直线变成了水平线）。减小光圈尺寸可以降低这种像差的影响。
（4）场曲：当物体是一个平面时，这种像差会导致焦平面弯曲成碗状，从而导致像的边缘模糊不清。减小光圈的尺寸同样可以降低这种像差的影响，因为它增加了焦深。
（5）畸变：使图像产生扭曲的像差。这种像差本身不会对 MTF 产生影响，并且不能通过减小光圈尺寸来校正。

1.4 景深

景深即物体在像清晰时所在的区域范围（深度），与成像光学器件的焦距的平方成比例。我们通过超焦距DhD_{\mathrm{h}}Dh来间接描述景深随焦距等参数变化的特性，超焦距DhD_{\mathrm{h}}Dh指镜头聚焦到无穷远时，从镜头至景深近界限的距离，其计算公式如下：Dh=f2FδD_{\mathrm{h}}=\frac{f^{2}}{F \delta} Dh=Fδf2其中δ\deltaδ是明晰圈，在此圈范围内可以认为对焦完成。

1.5 调制传递函数

调制传递函数（MTF）是空间频率的传输函数，是用来表征物体图案传递到像的忠实度的一种方法，典型的调制传递函数的示意图如下图所示：

如图所示，典型的调制传递函数的示意图都会表现为一条向右衰减的曲线，这是因为空间频率越高（物体图案中的细节越多〉，镜头对物体的再现能力越弱。可以认为高频率下的高调制传递函数值指的是清晰度，而中等频率下的调制传递函数值指的是对比度，下图展示了该结论：

2 光学系统设计相关参数

2.1 透镜组合

逆望远型：第一个透镜是凹透镜，第二个透镜是凸透镜，整体作用等效于只在位置 A 处放置了一个透镜，因此，整个透镜组长度相对于其焦距而言很长。它经常被应用
在广角镜头和紧凑型数码相机变焦镜头中：

望远型第一个透镜是凸透镜，第二个透镜是凹透镜，整体作用等效于只在位置 B 处放置了一个透镜，这种组合结构使得整个透镜组的长度可能短于焦距 。它被广泛应用在长焦镜头和紧凑型胶片相机的变焦镜头中：

2.2 低通滤波器

成像元件中的像素间距是固定的，这将致使物体通过透镜形成的图像和成像元件中的图像发生重叠 ，从而导致莫尔效应 。插入低通滤波器的目的在于减小这种效应的影响。为了防止高频成分导致莫尔效应（伪色图），高于奈奎斯特频率的频率成分都应该被消除。镜头的功能不会在高频时突然消失，为了确保镜头在低频时调制传递函数足够高，同时具备高分辨能力。因此成像镜头和低筒滤波器的调制传递函数通常如下图（a）和图（b）所示。

2.3 镀膜

对于一个没有镀膜的透镜，其表面对于垂直入射光的反射比随着所使用玻璃的折射率不同而发生变化，如下式所示：R=(ng−1ng+1)2R=\left(\frac{n_{\mathrm{g}}-1}{n_{\mathrm{g}}+1}\right)^{2} R=(ng+1ng−1)2其中，ngn_{\mathrm{g}}ng是玻璃的折射率。

当只镀有一层膜时，透镜表面关于垂直入射光的反射比由下式给出：R′=(ng−nf2nR+nf2)2R^{\prime}=\left(\frac{n_{\mathrm{g}}-n_{\mathrm{f}}^{2}}{n_{\mathrm{R}}+n_{\mathrm{f}}^{2}}\right)^{2} R′=(nR+nf2ng−nf2)2其中，nfn_{\mathrm{f}}nf是是涂层的折射率且nfn_{\mathrm{f}}nf与涂层厚度的乘积是光波长的1/4 。根据这个等式，对于折射率为 1.5 的玻璃，我们必须使用折射率为 1.22 的膜材料才能完全消除对一种特定波长的光的反射。然而，涂层的最低折射率在 1.33 ~1.38之间，所以只使用一层涂层无法实现零反射。对于折射率为 1.9 的玻璃，即使只有一层涂层，也可以完全消除对某些波长的光的反射，但是理所当然地，对其他波长的光的反射仍然存在。

当镀有两层膜时，反射比由下式给出：R′′=(n12ng−n22n12ng−n22)2R^{\prime \prime}=\left(\frac{n_{1}^{2} n_{\mathrm{g}}-n_{2}^{2}}{n_{1}^{2} n_{\mathrm{g}}-n_{2}^{2}}\right)^{2} R′′=(n12ng−n22n12ng−n22)2其中，n1n_{1}n1是直接覆盖在玻璃上的内部涂层的折射率， n2n_{2}n2是与空气接触的外部涂层的折射率.根据这个等式，在折射率为1.5的玻璃上镀上折射率之比为1.22的两层膜就有可能至少消除对于某些特定波长的反射。

如下为膜层的反射比与波长的关系：

2.4 非球面镜

一个非球面透镜的作用大体与两到三个球面透镜的作用相当，如下图所示：
如图所示，传统的镜头也使用了一个非球面透镜单元，但通过使用较高折射率的玻璃，目前这两个凹透镜（其中一个是非球面的）可以成功被单个凹的非球面透镜代替。这是一个在透镜变短变窄的同时仍能提高性能的很好的例子。

2.5 角度波动

如果缩放和对焦使得成像透镜的出射光线的角度变化太大，就会出现问题，如成像元件微型透镜中的暗角，以及低通作用的变化。

在2.1节中我们讨论了逆望远型配置和望远型配置两种镜头组合，这里我们讨论他们的角度变化情况（在书中前后文对于这两种配置的定义好像有矛盾，有点不太理解）：

凸透镜组在靠近物体一端而凹透镜组在靠近胶片一端的逆望远型配置，广角模式和远景模式之间存在明显的角度变化，而且光线的角度总是近似与光轴不平行如下图所示：
凸透镜组在靠近胶片一端而凹透镜组在靠近物体一端的望远型配置，广角模式和远景模式之间没有太大区别，而且光线的角度总是近似与光轴平行，如下图所示：

至此总结完毕，我觉得爱好摄影的同学这一部分知识应该是很熟悉的，如有错误，欢迎指正~