一看就懂的感知机算法PLA

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什么是感知机「Perceptron」

PLA全称是Perceptron Linear Algorithm，即线性感知机算法，属于一种最简单的感知机（Perceptron）模型。

感知机模型是机器学习二分类问题中的一个非常简单的模型。它的基本结构如下图所示：

其中，xixix_i是输入，wiwiw_i表示权重系数，bbb表示偏移常数。感知机的线性输出为：

scores=∑iNwixi+b" role="presentation">scores=∑iNwixi+bscores=∑iNwixi+b

scores=\sum_i^Nw_ix_i+b

为了简化计算，通常我们将bbb作为权重系数的一个维度，即w0" role="presentation" style="position: relative;">w0w0w_0。同时，将输入xxx扩展一个维度，为1。这样，上式简化为：

scores=∑iN+1wixi" role="presentation">scores=∑iN+1wixiscores=∑iN+1wixi

scores=\sum_i^{N+1}w_ix_i

scoresscoresscores是感知机的输出，接下来就要对scoresscoresscores进行判断：

若scores≥0scores≥0scores\geq0，则y^=1y^=1\hat y=1（正类）
若scores<0scores<0scores，则y^=−1y^=−1\hat y=-1（负类）

以上就是线性感知机模型的基本概念，简单来说，它由线性得分计算和阈值比较两个过程组成，最后根据比较结果判断样本属于正类还是负类。

PLA理论解释

对于二分类问题，可以使用感知机模型来解决。PLA的基本原理就是逐点修正，首先在超平面上随意取一条分类面，统计分类错误的点；然后随机对某个错误点就行修正，即变换直线的位置，使该错误点得以修正；接着再随机选择一个错误点进行纠正，分类面不断变化，直到所有的点都完全分类正确了，就得到了最佳的分类面。

利用二维平面例子来进行解释，第一种情况是错误地将正样本（y=1）分类为负样本（y=-1）。此时，wx<0wx<0wx，即www与x" role="presentation" style="position: relative;">xxx的夹角大于90度，分类线lll的两侧。修正的方法是让夹角变小，修正w" role="presentation" style="position: relative;">www值，使二者位于直线同侧：

w:=w+x=w+yxw:=w+x=w+yx

w:=w+x=w+yx

修正过程示意图如下所示：

第二种情况是错误地将负样本（y=-1）分类为正样本（y=1）。此时，wx>0wx>0wx>0，即www与x" role="presentation" style="position: relative;">xxx的夹角小于90度，分类线lll的同一侧。修正的方法是让夹角变大，修正w" role="presentation" style="position: relative;">www值，使二者位于直线两侧：

w:=w−x=w+yxw:=w−x=w+yx

w:=w-x=w+yx

修正过程示意图如下所示：

经过两种情况分析，我们发现PLA每次www的更新表达式都是一样的：w:=w+yx" role="presentation" style="position: relative;">w:=w+yxw:=w+yxw:=w+yx。掌握了每次www的优化表达式，那么PLA就能不断地将所有错误的分类样本纠正并分类正确。

数据准备

导入数据

数据集存放在’../data/’目录下，该数据集包含了100个样本，正负样本各50，特征维度为2。

import numpy as np
import pandas as pddata = pd.read_csv('./data/data1.csv', header=None)
# 样本输入，维度（100，2）
X = data.iloc[:,:2].values
# 样本输出，维度（100，）
y = data.iloc[:,2].values

数据分类与可视化

下面我们在二维平面上绘出正负样本的分布情况。

import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 0], X[50:, 1], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.title('Original Data')
plt.show()

PLA算法

特征归一化

首先分别对两个特征进行归一化处理，即：

X=X−μσ" role="presentation">X=X−μσX=X−μσ

X=\frac{X-\mu}{\sigma}

其中，μμ\mu是特征均值，σσ\sigma是特征标准差。

# 均值
u = np.mean(X, axis=0)
# 方差
v = np.std(X, axis=0)X = (X - u) / v# 作图
plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 0], X[50:, 1], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.title('Normalization data')
plt.show()

直线初始化

# X加上偏置项
X = np.hstack((np.ones((X.shape[0],1)), X))
# 权重初始化
w = np.random.randn(3,1)

显示初始化直线位置：

# 直线第一个坐标（x1，y1）
x1 = -2
y1 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 + w[1] * x1)
# 直线第二个坐标（x2，y2）
x2 = 2
y2 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 + w[1] * x2)
# 作图
plt.scatter(X[:50, 1], X[:50, 2], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 1], X[50:, 2], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.plot([x1,x2], [y1,y2],'r')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.show()

由上图可见，一般随机生成的分类线，错误率很高。

计算scores，更新权重

接下来，计算scores，得分函数与阈值0做比较，大于零则y^=1y^=1\hat y=1，小于零则y^=−1y^=−1\hat y=-1

s = np.dot(X, w)
y_pred = np.ones_like(y)    # 预测输出初始化
loc_n = np.where(s < 0)[0]    # 大于零索引下标
y_pred[loc_n] = -1

接着，从分类错误的样本中选择一个，使用PLA更新权重系数www。

# 第一个分类错误的点
t = np.where(y != y_pred)[0][0]
# 更新权重w
w += y[t] * X[t, :].reshape((3,1))

迭代更新训练

更新权重w" role="presentation" style="position: relative;">www是个迭代过程，只要存在分类错误的样本，就不断进行更新，直至所有的样本都分类正确。（注意，前提是正负样本完全可分）

for i in range(100):s = np.dot(X, w)y_pred = np.ones_like(y)loc_n = np.where(s < 0)[0]y_pred[loc_n] = -1num_fault = len(np.where(y != y_pred)[0])print('第%2d次更新，分类错误的点个数：%2d' % (i, num_fault))if num_fault == 0:breakelse:t = np.where(y != y_pred)[0][0]w += y[t] * X[t, :].reshape((3,1))

迭代完毕后，得到更新后的权重系数ww<script type="math/tex" id="MathJax-Element-37">w</script>，绘制此时的分类直线是什么样子。

# 直线第一个坐标（x1，y1）
x1 = -2
y1 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 + w[1] * x1)
# 直线第二个坐标（x2，y2）
x2 = 2
y2 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 + w[1] * x2)
# 作图
plt.scatter(X[:50, 1], X[:50, 2], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 1], X[50:, 2], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.plot([x1,x2], [y1,y2],'r')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.show()

其实，PLA算法的效率还算不错，只需要数次更新就能找到一条能将所有样本完全分类正确的分类线。所以得出结论，对于正负样本线性可分的情况，PLA能够在有限次迭代后得到正确的分类直线。

总结与疑问

本文导入的数据本身就是线性可分的，可以使用PCA来得到分类直线。但是，如果数据不是线性可分，即找不到一条直线能够将所有的正负样本完全分类正确，这种情况下，似乎PCA会永远更新迭代下去，却找不到正确的分类线。

对于线性不可分的情况，该如何使用PLA算法呢？我们下次将对PLA进行改进和优化。

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