Decode Ways

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每一个数字和一个字母对应，总共有26个字母，对于每一个或每两个数字，都有可能将其转化成字母，计算有多少中转换形式

以1221为例，所有的转换形式为1->’A’，2->’B’，12->’L’，21->’U’，22->’V’，所有可能的转换结果是

ABBA ((1)(2)(2)(1))
ABU ((1)(2)(21))
AVA ((1)(22)(1))
LBA ((12)(2)(1))
LU ((12)(21))

假设给出的数字序列是s[0, 1, …, n]，令dp[i - 1]表示s[0, 1, …, i-1]这个数字序列能够表示的所有转化结果个数，那么如何计算dp[i]呢

对于s[0, 1, …, i]这个数字序列的转化结果，可以分成两部分计算

由s[0, 1, …, i-1] + s[i]组成，即所有转化形式是s[0, 1, …, i-1]的转换结果后加s[i]表示的字母。如1221可以表示成由122的转换结果后加(1)表示的字母，即集合[ABB, AV, LB] + [A] = [ABBA, AVA, LBA]，dp的表示形式为dp[i] += dp[i - 1]
由s[0, 1, …, i-2] + s[i-1, i]组成，即所有转化形式是s[0, 1, …, i-2]的转化结果后加由s[i-1, i]表示的字母。如1221可以表示成由12的转换结果后加(21)表示的字母，即集合[AB，L] + [U] = [ABU, LU]，dp的表示形式为dp[i] += dp[i - 2]

所以直接动态规划计算即可，dp[i]与dp[i - 1]和dp[i - 2]有关，不过有几个边界条件，尤其注意’0’无法转换成对应字母的情况

s[i] == ‘0’，s[i]不能表示字母，此时dp[i]与dp[i - 1]无关
s[i - 1] == ‘0’，s[i-1, i]不能表示字母，此时dp[i]与dp[i - 2]无关
i == 0 && s[0] != ‘0’，此时dp[0] = 1
i == 1 && s[0] != ‘0’ && toNumber(s[0, 1]) <= 26，此时dp[1] = 2

代码如下

class Solution {
public:int numDecodings(string s) {if(s.empty())   return 0;vector<int> dp(s.size(), 0);for(int i = 0; i < s.size(); ++i){/* 由s[0,1,...,i-1]+s[i]组成 */if(s[i] != '0')dp[i] += (i == 0) ? 1 : dp[i - 1];/* 由s[0,1,...,i-2]+s[i-1,i]组成 */if(i > 0 && s[i - 1] != '0' && ((s[i - 1] - '0') * 10 + (s[i] - '0') <= 26))dp[i] += (i == 1) ? 1 : dp[i - 2];}return dp[s.size() - 1];}
};

代码中处理了i == 0和i == 1的情况，因为i == 0时dp[i - 1]无意义，i == 1时dp[i - 2]无意义

为什么程序中是dp[i] += dp[i - 1]而不是dp[i] += 1 + dp[i - 1]

因为dp[i - 1]表示由s[0, 1, …, i-1]表示的字母集，后面追加一个字母后个数没有改变

以1221为例，假设i == 3，则s[0, 1, …, i - 1]表示的字母集是[ABB, AV, LB]，个数dp[i - 1]是3

当后面追加s[i]表示的字母A时，字母集变为[ABBA, AVA, LBA]，个数没变，所有dp[i] = dp[i - 1]

当然，dp[i]在初始化时都至为0，所以只需要+=操作即可

Decode Ways II

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要求和上面一样，不同的只是数字集s中可能包含’*’，这个符号可以表示1到9任意一个数字

思想还是动态规划，但是要处理的情况变多了，比如

“*”可以可以表示”1”，”2”，…，”9”
“*2”可以表示”12”，”22”
“1*”可以表示”11”，”12”，…，”19”
“3*”不能表示任何一个二位数的数字，因为超过了”26”

对于s[0, 1, …, i]由s[0, 1, …, i-1]+s[i]组成的情况，只是简单的多出s[i] == ‘*’的情况而已

而对于s[0, 1, …, j]由s[0, 1, …, i-2]+s[i-1, i]组成的情况，s[i-1, i]需要考虑多种情况，包括

s[i - 1] == ‘*’ && s[i] != ‘*’
s[i - 1] != ‘*’ && s[i] == ‘*’
s[i - 1] == ‘*’ && s[i] == ‘*’
s[i - 1] != ‘*’ && s[i] != ‘*’

当然，无论多出多少种情况也都不能忽略i == 0和i == 1的情况

首先考虑s[0, 1, …, i]由s[0, 1, …, i-1]+s[i]组成的情况

当s[i] == ‘‘时，s[i]可以表示9种数字，那么s[0, 1, …, i-1]后加s[i]时的组合个数就是dp[i - 1] 9。比如s[0, 1, …, i-1]表示的集合只有[A]一个，而s[i]可以表示’A’，’B’，…’J’九种，所以s[0, 1, …, i]表示的集合就变为[AA, AB, AC, AD, …, AJ]九种，自然是dp[i - 1] * 9
当s[i] != ‘*’时，s[i]只可以表示1种数字，那么dp[i] += dp[i - 1]即可

再考虑s[0, 1, …, i]由s[0, 1, …, i-2]+s[i-1, i]组成的情况

当s[i - 1] == ‘*’ && s[i] != ‘*’时
- 如果s[i] <= ‘6’，那么有两种即”1n”和”2n”(n表示s[i])
- 如果s[i] > ‘6’，那么只有一种”1n”(n表示s[i])，因为”2n”会超过”26”
当s[i - 1] != ‘*’ && s[i] == ‘*’时
- 如果s[i - 1] == ‘1’，那么有9种即”11”，”12”，…，”19”
- 如果s[i - 1] == ‘2’，那么有6中即”21”，”22”，…，”26”
- 如果s[i - 1] < ‘1’ || s[i - 1] > ‘2’，没有字母可以表示
当s[i - 1] == ‘*’ && s[i] == ‘*’时
- 有15种可能即”11”，”12”，….，”19”，”21”，”22”，…，”26”
当s[i - 1] != ‘*’ && s[i] != ‘*’时
- 如果s[i-1, i]表示的数字小于等于26，有1中可能
- 如果s[i-1, i]表示的数字大于26，没有字母可以表示

代码如下

class Solution {
public:int numDecodings(string s) {if(s.empty())   return 0;long long int base = 1;for(int i = 0; i < 9; ++i)base *= 10;base += 7;vector<long long int> dp(s.size(), 0);for(int i = 0; i < s.size(); ++i){if(s[i] != '0'){dp[i] += (s[i] == '*') ? ((i == 0) ? 2 : dp[i - 1] * 2) : ((i == 0) ? 1 : dp[i - 1]);}if(i > 0 && s[i - 1] != '0' && (s[i - 1] == '*' || s[i] == '*' || ((s[i - 1] - '0') * 10 + (s[i] - '0') <= 26))){if(s[i - 1] == '*' && s[i] != '*')dp[i] += (s[i] <= '6') ? ((i == 1) ? 9 : dp[i - 2] * 9) : ((i == 1) ? 1 : dp[i - 2] * 1);else if(s[i - 1] != '*' && s[i] == '*' && s[i - 1] <= '2')dp[i] += (s[i - 1] == '1') ? ((i == 1) ? 9 : dp[i - 2] * 9) : ((i == 1) ? 6 : dp[i - 2] * 6);else if(s[i - 1] == '*' && s[i] == '*')dp[i] += (i == 1) ? 15 : dp[i - 2] * 15;else if(s[i - 1] != '*' && s[i] != '*')dp[i] += (i == 1) ? 1 : dp[i - 2] * 1;}dp[i] %= base;}return dp[s.size() - 1];}
};

好多都是用了嵌套()?:表达式，如果不容易理解可以拆开

感觉这两道题不是在考动态规划而是在考脑筋急转弯啊，各种情况想的脑袋疼

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