探索实验5 插值法

实验目的

了解插值问题及其适用的场合，理解并掌握常用的插值算法的构造和计算，了解差商概念、Runge现象及样条插值方法，学习用计算机求近似函数的一些科学计算方法和简单的编程技术。

二、概念与结论

1. 插值问题与插值函数：

由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 , y1 , … , yn ,构造一个简单函数 ((x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式

y= f(x) ( ((x)

使 ((x0)=y0 , ((x1)=y1 , (, ((xn)=yn ,(1)

这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，((x) 称为插值函数， x0 , x1, ... , xn 称为插值节点。(1)式称为插值条件。

常用的插值函数是多项式函数。且当n=1时是称为线性插值，n=2时称为Simpson插值或抛物线插值。

2．插值定理：

假设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节点的值f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的，那么存在唯一的n 次次多项式pn (x)满足

pn (xk)=f(xk), k=0,1,…,n

3.插值的截断误差

设(n(x)是过点x0 ，x1 ，x2 ，…xn的 n 次插值多项式， f(n+1)(x)在(a，b)上存在，其中[a，b]是包含点x0 ，x1 ，x2 ，…,xn的任一区间，则对任意给定的x([a，b]，总存在一点(((a，b)(依赖于x)使

其中(n+1(x)=(x –x0) (x - x1)…(x-xn ) ，f(n+1)(() 是f(x)的n+1阶微商在 ( 的值。

4. 差商：

给定一个函数表

x | x0 x1 ….... xn

-------- ---------------------------------------------------------

y | y0 ,y1 ……. yn

其中当i (j时 ,xi(xj 记 f[xi]=f(xi) ,定义f(x)关于xi,xj的一 阶差商

一般的, f(x)关于xi,xi+1,…,xi+k的k 阶差商定义为:

5. 分段线性插值：

在区间[a,b]上给定一组节点:

a=x0

且在节点上的函数值f(xi )=yi, i=0,1,2,(((,n, 如果函数((x) 满足：

( (x)在[a , b]上连续

( (xi )=yi, i=0,1,2,(((,n

( (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,(((,n-1)上是次数为1的多项式

则称( (x)是定义在[a ,b]上的分段线性插值函数。

6. m次样条插值函数：

设f(x)是区间[a,b]上的一个连续可微函数,在区间[a,b]上给定一组节点:

a=x0

且y = f(x)在点 x0，x1，x2, ((( xn的值为y0，y1，y2, (((yn，如果函数s(x)满足条件

(1) s(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,(((,n-1)上是次数不超过m的多项式;

s(x)在区间[a , b]上有m-1阶连续导数;

s(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,(((,n

则称s(x) 为函数f(x)的在[a ,b]上的m次样条插值函数。x0，x1，x2, (((称为样条结点,其中x1,(((,xn-1称为内结点, x0 , xn 称为边界结点。当m=3时,则称s(x)为函数f(x)的三次样条插值函数。

三、程序中Mathematica语句解释：

Product [f(i) , {i ，imin，imax，h }]

计算乘积 f(imin)(f(imin +h) (f(imin +2h) (……(f(imin +nh)}

imax – h ( imin + nh ( imax , h>0

2．Simplify[expr] 对expr进行化简

3. Append[list, elem] 在表list的后面加一个元素 elem

4. Prepend[list, elem] 在表list的前面加一个元素 elem

四、方法与程序

插值法是函数逼近