petri网

2、有向网

三元组 N=(S,T;F)N=(S,T;F)N=(S,T;F) 称为有向网，如果

表达式	含义
S⋃T≠∅S \bigcup T \neq \emptysetS⋃T=∅	非空
⋀S⋂T≠∅\bigwedge S \bigcap T \neq \emptyset⋀S⋂T=∅	两类元素
⋀F⊆S×T⋃T×S\bigwedge F \subseteq S \times T \bigcup T \times S⋀F⊆S×T⋃T×S	两种关系
⋀dom(F)⋃cod(F)=S⋃T\bigwedge dom(F) \bigcup cod(F) = S \bigcup T⋀dom(F)⋃cod(F)=S⋃T	无孤立元素

其中：

dom(F)={x∣∃y:(x,y)∈F}dom(F) = \{x| \exists y:(x,y)\in F \}dom(F)={x∣∃y:(x,y)∈F}
cod(F)={y∣∃x:(x,y)∈F}cod(F) = \{y| \exists x:(x,y)\in F \}cod(F)={y∣∃x:(x,y)∈F}

例1：

S={c,x,q,d}S=\{c,x,q,d\}S={c,x,q,d}
T={cx,xq,qd,dc}T=\{cx,xq,qd,dc\}T={cx,xq,qd,dc}
F={(c,cx),(cx,x),(x,xq),(xq,q),(q,qd),(qd,d),(d,dc),(dc,c)}F=\{(c,cx),(cx,x),(x,xq),(xq,q),(q,qd),(qd,d),(d,dc),(dc,c)\}F={(c,cx),(cx,x),(x,xq),(xq,q),(q,qd),(qd,d),(d,dc),(dc,c)}
N1={S,T;F}N_1=\{S,T;F\}N1={S,T;F}

例2：

2.1 基本元素

SSS 元素： place 库所
TTT 元素：transition 变迁（不是迁移，不只是搬家，这个既有质变，又有量变)
F：flow relation 流关系

2.2 表达方式比较

半形式化定义：易读，适合书面交流
形式化定义：适合引入数学方法，便于自动处理
图形表示：直观便于交流，突显网状结构，面对面交流时无须为元素命名

例3：

上图是 N=({S1,S2},{t};{(S1,t),(t,S2)})N=(\{S_1,S_2\},\{t\};\{(S_1,t),(t,S_2)\})N=({S1,S2},{t};{(S1,t),(t,S2)}) 的图形表示吗？
在同构的意义上，是（同构：同类元素之间的一一对应，包括 FFF ）

例4：

这是一个有向网吗？
可以看成一个，也可以看成两个。定义没有明确规定是否联通。
但是，既然两部分没有联系，为什么要放在一起研究？这就要从实际应用触发。

2.3 连通性

弱连通
强连通，去掉一条边还连通
不连通，最后两个无连接

2.4 单纯网、简单网

有向网允许以下结构吗？

不单纯（单纯性)
不简单（简单性)
重复弧，不能出现

2.4.1 术语：前集、后集

X=S⋃TX = S \bigcup TX=S⋃T 有向网的节点集合元素集
x,y∈Xf(x)={.x={y∣(y,x)∈F},x的前集x.={y∣(x,y)∈F},x的后集x,y \in X \\ f(x)=\left\{ \begin{aligned} ^.x & = & \{y|(y,x)\in F\} & , &x的前集 \\ x^. & = & \{y|(x,y)\in F\} & , &x的后集 \end{aligned} \right. x,y∈Xf(x)={.xx.=={y∣(y,x)∈F}{y∣(x,y)∈F},,x的前集x的后集

2.4.2 单纯网、简单网、连通网

2.4.2.1 单纯网定义

∀x∈X:.x∩x.≠∅\forall x \in X:\\ ^.x \cap x^. \neq \empty ∀x∈X:.x∩x.=∅

2.4.2.2 简单网定义

∀x,y∈X:.x=.y⋀x.=y.⋀x≠y\forall x,y \in X:\\ ^.x=^.y\bigwedge x^.=y^.\bigwedge x\neq y ∀x,y∈X:.x=.y⋀x.=y.⋀x=y

2.4.2.3 连通图定义

∀x,y∈X:(x,y)∈(F∪F−1)+其中F−1={(a,b)∣(b,a)∈F}\forall x,y \in X:\\ (x,y)\in (F\cup F^{-1})^+\\ 其中 F^{-1}=\{(a,b)|(b,a)\in F\} ∀x,y∈X:(x,y)∈(F∪F−1)+其中F−1={(a,b)∣(b,a)∈F}

2.4.2.4 重复弧问题

不允许重复弧

2.4.2.5 对偶网和互逆网

N=(S,T;F),N′=(S′,T′;F′)为有向网N和N′为对偶网,如果S′=T⋀T′=S⋀F′=FN和N′为互逆网,如果S′=S⋀T′=T⋀F′=F−1N=(S,T;F), N'=(S',T';F') 为有向网\\ N和N'为对偶网,如果 S'=T\bigwedge T'=S\bigwedge F'=F\\ N和N'为互逆网,如果 S'=S\bigwedge T'=T\bigwedge F'=F^{-1}\\ N=(S,T;F),N′=(S′,T′;F′)为有向网N和N′为对偶网,如果S′=T⋀T′=S⋀F′=FN和N′为互逆网,如果S′=S⋀T′=T⋀F′=F−1

以下两个网是同一个网，同为 N=({S1,S2},{t};{(S1,t),{t,S2}})N=(\{S_1,S_2\},\{t\};\{(S_1,t),\{t,S_2\}\})N=({S1,S2},{t};{(S1,t),{t,S2}}) 的图示

2.4.3 有限网 & 无限网

有向网可有有限多个元素，也可以有不可数的有限多个元素 ∣S∪T∣<∞|S\cup T|<\infty∣S∪T∣<∞

有限网
- 人造系统：能力有限
- 自然规律（如四季变化）：局部观察
无限网
- 记录无始无终的自然变化
- 理论研究（图灵机）

2.5 出现网

把出现的现象记录下来

例5：

2.6 基础概念定义金律

没有必要包含的,就有必要不包含

2.6.1 有向网定义不包含

连通性
单纯性
简洁性
有限性

2.6.2 有向网概念特点

基础概念简洁
可灵活引入后续概念

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