圆锥曲线万能弦长公式_二次曲线中的万能弦长公式

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二次曲线中的万能弦长公式

王忠全

我们把e68a8462616964757a686964616f31333433646366圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。

设直线方程为：y=kx+b(特殊情况要讨论k的存在性)，二次曲线为f(x，y)=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax2+by2+c=0，(或ay2+by+c=0)，设直线和二次曲线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)

那么：x1，x2是方程ax2+by2+c=0的两个解，有

x1+x2=-，x1x2=，

同理：若化为关于y的方程ay2+by+c=0，则|AB|=.

例、已知过点M(-3，-3)的直线m被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4，求直线m的方程。

解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),

即y=kx+3k-3,代入x2+y2+4y-21=0,得x2+k2x2+9k2+9+6k2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0,

即(1+k2)x2+(6k2-2k)x+9k2-6k-24=0,那么

当k不存在时,直线m为x=-3,代入x2+y2+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6)

|AB|=(不合题意)

综上所述:.

变式:已知过点M(-3，-3)的直线m被椭圆所截得的弦长为2，求直线m的方程。

评析:用公式解决弦长问题,计算量大,容易出错,这正是高考考查学生计算能力的一个重要方面,这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。

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