【信安数基】数论篇（一）：整除

文章目录

【信安数基】数论篇（一）：整除
- 0x00 整除符号
- - 1. 对符号的定义
  - 2. 符号本身有以下性质
- 0x01 取余
- - 对符号的定义
- 0x02 素数的四个定理
- 0x03 公因子
- - 1. 对符号的定义
  - 2. 符号本身的性质
  - - 辗转相除法
- 0x04 连分数
- 0x05 算术基本定理
- - 1. 两个前置定理
  - 2. 算数基本定理
  - 3. 标准分解式的性质
  - - (1) 正因子的数量
    - (2) 与最大公约数和最小公倍数的关系
- 0x05 梅森素数和费马素数
- - 1. 完全数
  - 2. 梅森数和梅森素数
  - 3. 费马数和费马素数

0x00 整除符号

1. 对符号的定义

设a,b∈Za, b \in Za,b∈Z，b≠0b \ne 0b=0，如果存在q∈Zq \in Zq∈Z使得a=qba=qba=qb：

称a可以被b整除，记作b|a（读作b整除a）
a是b的倍数，b是a的因子（约数/除数）

注意

在b|a中，允许a = 0，不允许b = 0

整除关系是通过整数的乘法定义的，不是通过除法定义的

整除符号表达的是两个整数之间的关系

2. 符号本身有以下性质

向前的传递性：如果b|a且c|b，则c|a
b∣ab|ab∣a且b∣cb|cb∣c ↔ 对任意m,n∈Zm, n \in Zm,n∈Z，有b∣am+cnb|am+cnb∣am+cn
如果a≠ba \ne ba=b，且b∣ab|ab∣a，则KaTeX parse error: Undefined control sequence: \abs at position 1: \̲a̲b̲s̲{b} ≤ \abs{a}

方便用于换算的性质：

b|a 这个关系，与其正负无关（b|a可推知-b|a, b|-a, |b| | |a|）
若b∣ab|ab∣a，则b∣acb|acb∣ac
设c≠0c \ne 0c=0，则b∣a↔bc∣acb|a ↔ bc | acb∣a↔bc∣ac
如果a∣bca|bca∣bc，a和b互素，那么a∣ca|ca∣c

0x01 取余

对符号的定义

设a和b是任意整数且b > 0，则存在唯一一对整数q和r，使得：
a=qb+r,0≤r<ba = qb+r,0\le r<b a=qb+r,0≤r<b
其中，a称为被除数，b称为商，r称为余数

在编程中，用%或者mod来表示取余（取模）运算，也就是a % b = r或者a mod b = r

0x02 素数的四个定理

素数有无穷多个
对任意正整数n，存在素数p满足 n<p≤n!+1n < p \le n! + 1n<p≤n!+1
如果整数n≥2n \ge 2n≥2，那么在n!+2n! + 2n!+2与n!+nn! + nn!+n之间必定没有素数
如果n为合数，则n必有素因子p满足：p≤np \le \sqrt{n}p≤n

有这样一个Eratosthenes质数筛法用来筛素数：

要寻找不超过x的所有质数，只需要列出2到x的所有整数，再找出小于√ x的所有质数，接下来把这些质数的倍数全部删去，剩下的数全部都是质数。

代码实现（C语言）：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>int main() {int n;int *isPrime;scanf("%d", &n);isPrime = (int*)malloc((n + 1) * sizeof(int));for(int i = 2; i <= n; i++) isPrime[i] = 1;for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {if(isPrime[i]) {for(int j = i + i; j <= n; j += i) isPrime[j] = 0;}}//输出筛出的所有素数for(int i = 2; i <= n; i++) {if(isPrime[i]) printf("%d, ", i);}
}

0x03 公因子

1. 对符号的定义

最大公因子：

设a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan是n个不全为零的整数，如果整数d是其中任何一个数的因子，就称d是a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan的公因子.
如果d是a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan的公因子中最大的一个，就称d为最大公因子，记作(a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan)或者gcd(a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan)
如果(a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan) = 1，则称a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan互素

最小公倍数

设a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan是n个整数，如果m是这n个数中每一个数的倍数，则m称为这个n个数的一个公倍数
公倍数中最小的正整数称为最小公倍数，记作[a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan]

2. 符号本身的性质

设 a, b,c 是三个不全为零的整数，且a=bq+ca = bq + ca=bq+c（注意：这里并未标明c的范围，因此这个式子未必展示了一个取模运算的过程），其中q是整数，则有(a,b)=(b,c)(a, b) = (b, c)(a,b)=(b,c)
对于两个正整数a和b，存在两个整数m和n，使得(a,b)=ma+nb(a, b) = ma + nb(a,b)=ma+nb
- m和n的值可以通过辗转相除法回代求出(a, b)后回代求出唯一的一组，不知道是否有其他满足条件的m和n。、
- 不知道“a与b的最大公因数是t与“存在整数m和n使得t=ma+nbt = ma + nbt=ma+nb”是否互为充要条件，只知道前者是后者的充分条件
- 如果整数a, b, c满足c∣ac|ac∣a且c∣bc|bc∣b，则c∣(a,b)c|(a, b)c∣(a,b)
- 整数a和b互素的充要条件是存在整数x, y，使xa+yb=1xa + yb = 1xa+yb=1

方便用于换算的性质

(ac,bc)=(a,b)c(ac, bc) = (a, b)c(ac,bc)=(a,b)c
如果(a1a_1a1, a2a_2a2) = d2d_2d2, (d2d_2d2, a3a_3a3) = d3d_3d3, …, (dn−1d_{n-1}dn−1, ana_nan) = dnd_ndn，则(a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan) = dnd_ndn
[a1a_1a1, a2a_2a2] = m2m_2m2, (m2m_2m2, a3a_3a3) = m3m_3m3, …, (mn−1m_{n-1}mn−1, ana_nan) = mnm_nmn，则(a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan) = mnm_nmn
a与b互素时，[a,b]=ab[a, b] = ab[a,b]=ab
[a,b](a,b)=ab[a, b](a, b)=ab[a,b](a,b)=ab
如果m是a, b的任一公倍数，则[a,b]∣m[a, b]|m[a,b]∣m（拓展：如果m是a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan的公倍数，则[a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan]|m）

显而易见地，两个数除以它们的最大公因子后得到的数一定互质：
(a(a,b),b(a,b))=1(\frac{a}{(a,b)},\frac{b}{(a,b)})=1 ((a,b)a,(a,b)b)=1

辗转相除法

代码实现（Java）

    public static int factor(int a, int b) {if(a == b) return a;if(a < b) {int c = a;a = b;b = c;}while(a > 0) {int c = a % b;if(c == 0) {return b;} else {a = b;b = c;}}return 0;}

0x04 连分数

0x05 算术基本定理

1. 两个前置定理

设p为质数且p|ab, 则p|a与p|b至少有一个成立
[ 推广 ]: 设p为质数且p|a1a_1a1a2a_2a2…ana_nan, 其中a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan是n个整数, 则 a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan中至少有一个整数可以被p整除
设a1a_1a1, a2a_2a2, …, ana_nan, c是整数, 如果对于任意aia_iai, 满足(aia_iai, c) = 1, 那么(a1a_1a1a2a_2a2…ana_nan, c) = 1
但是无法逆推回去

2. 算数基本定理

任何大于1的整数都可以表示成质数的乘积, 且不考虑乘积顺序的情况下表达式唯一

推论:任何大于1的整数n都可以唯一的表示为
n=p1a1p2a2…psas,i=1,2,…,sn = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_s^{a_s},i=1, 2,\dots,s n=p1a1p2a2…psas,i=1,2,…,s
这个式子称为n的标准分解式

衍生定理: 整数d是n的正因子的充要条件为:
d=p1β1p2β2…psβs,ai≥βi≥0,i=1,2,…,sd = p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\dots p_s^{\beta_s},a_i \ge\beta_i\ge0, i=1, 2,\dots,s d=p1β1p2β2…psβs,ai≥βi≥0,i=1,2,…,s

3. 标准分解式的性质

(1) 正因子的数量

如果用τ表示正因子的个数, 则有:
τ(n)=τ(p1a1)τ(p2a2)…τ(psas)=(a1+1)(a2+1)…(as+1)\tau(n)=\tau(p_1^{a_1})\tau(p_2^{a_2})\dots\tau(p_s^{a_s})=(a_1+1)(a_2+1)\dots(a_s+1) τ(n)=τ(p1a1)τ(p2a2)…τ(psas)=(a1+1)(a2+1)…(as+1)

(2) 与最大公约数和最小公倍数的关系

a=p1a1p2a2...psasb=p1β1p2β2...psβs(a,b)=p1γ1p2γ2...pnγn,γi=min⁡(ai,βi)[a,b]=p1δ1p2δ2...pnδn,δi=max⁡(ai,βi)a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}... p_s^{a_s}\\ b=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}... p_s^{\beta_s}\\ (a, b)=p_1^{\gamma_1}p_2^{\gamma_2}... p_n^{\gamma_n},\gamma_i=\min(a_i,\beta_i)\\ [a,b]=p_1^{\delta_1}p_2^{\delta_2}... p_n^{\delta_n},\delta_i=\max(a_i,\beta_i)\\ a=p1a1p2a2...psasb=p1β1p2β2...psβs(a,b)=p1γ1p2γ2...pnγn,γi=min(ai,βi)[a,b]=p1δ1p2δ2...pnδn,δi=max(ai,βi)

0x05 梅森素数和费马素数

1. 完全数

σ(n)\sigma(n)σ(n)表示正整数n的所有正因子之和

如果σ(n)=2n\sigma(n) = 2nσ(n)=2n，称正整数n为完全数

完全数的算法：设正整数n的标准分解式为n=∏i=1spiαin=\prod_{i=1}^sp_i^{\alpha_i}n=∏i=1spiαi

则其正因子之和为：
σ(n)=∏i=1s(pi0+pi1+pi2+⋯+piαi)=∏i=1spiαi+1−1pi−1\sigma(n)=\prod_{i=1}^s(p_i^0+p_i^1+p_i^2+\dots+p_i^{\alpha_i})=\prod_{i=1}^s\frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1} σ(n)=i=1∏s(pi0+pi1+pi2+⋯+piαi)=i=1∏spi−1piαi+1−1

2. 梅森数和梅森素数

定理：如果2n−12^n-12n−1是素数，则n是素数，反之则未必

形如2p−12^p-12p−1的数叫梅森数，记作Mp=2p−1M_p=2^p-1Mp=2p−1

当MpM_pMp为素数时，称之为梅森素数

设MnM_nMn是梅森素数，则2n−1Mn2^{n-1}M_n2n−1Mn是偶完全数，且没有其他偶完全数存在。

换句话说，偶完全数一定可以写成2n−1Mn2^{n-1}M_n2n−1Mn的形式

3. 费马数和费马素数

如果n是非负整数，则称Fn=22n+1F_n=2^{2^n}+1Fn=22n+1为费马数

FnF_nFn为素数时，称FnF_nFn为费马素数

任意两个不同的费马数都是互质的。

形如2m+12^m+12m+1的素数一定是费马素数

也就是说如果2m+12^m+12m+1是素数，则存在整数n，使得m=2nm=2^nm=2n