动态规划之最长递增子序列 最长不重复子串 最长公共子序列
【前言】动态规划：与分治法相似，即通过组合子问题来求解原问题，不同的是分治法是将问题划分为互不相交的子问题，递归求解子问题，再将他们组合起来求出原问题的解。
动态规划则应用于子问题重叠的情况，通常用来求解最优化问题。这类问题可以有很多可行解，每个解都有一个值，我们希望寻找最优值的解。
通常有4个步骤来设计动态规划算法：
1.刻画一个最优解的结构特征。
2.递归地定义最优解的值。
3.计算最优解的值，通过采用自底向上的方法。
4.利用计算出的信息构造一个最优解。
【问题1】最长递增子序列问题
【问题描述】设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<ak1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
采用一个数组temp[]保存 以当前元素结尾的最长递增子序列长度，最后求出全局最优解
更新最长递增子序列的条件：a[i]>a[j] (i>j) 且前一个递增序列长度大于等于当前递增序列长度
- //动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。
- //最长递增子序列O(N^2)
- public void longestIncreasingSubsequence2(int[] a){
- int[] temp=new int[a.length];
- temp[0]=1;
- int max=0;
- for(int i=1;i<a.length;i++){
- temp[i]=1;
- for(int j=0;j<i;j++){
- if(a[i]>a[j]&&temp[i]<=temp[j]){//找出最大的temp[j](前一个最长递增子序列长度)temp[i]<=temp[j]
- temp[i]=temp[j]+1;//更新最长递增子序列长度
- }
- }
- max=Math.max(temp[i], max);
- }
- System.out.println(max);
- }
【改进】考虑到在计算每个temp[i]时都要找到最大的，由于数组无序，所以每次都需要顺序查找。可以让数组有序那么就可以使用二分查找，从而算法复杂度就可以降到O(NlogN)。可以采用一个数组存储最大递增子序列的最末元素：即： B[ temp[j] ] = aj。
在数组B中用二分查找法找到满足j<i且B[f(j)]=aj<ai的最大的j,并将B[f[j]+1]置为ai。
- //O(NlogN)解法
- public void longestIncreasingSubsequence(int[] a){
- /*
- * 在计算每一个f(i)时，都要找出最大的f(j)(j<i)来，由于f(j)没有顺序，只能顺序查找满足aj<ai最大的f(j)，
- * 如果能将让f(j)有序，就可以使用二分查找，这样算法的时间复杂度就可能降到O(nlogn)。
- * 于是想到用一个
- * 数组B来存储“子序列的”最大递增子序列的最末元素，
- * 即有B[f(j)] = aj
- * 在计算f(i)时，在数组B中用二分查找法找到满足j<i且B[f(j)]=aj<ai的最大的j,并将B[f[j]+1]置为ai。
- */
- int[] temp=new int[a.length+1];
- temp[0]=-100;
- temp[1]=a[0];
- int Len=1;
- int p,r,m;//p,r,m分别为二分查找的上界，下界和中点；
- for(int i = 1;i<a.length;i++)
- {
- p=0;r=Len;
- while(p<=r)//二分查找最末元素小于ai+1的长度最大的最大递增子序列；
- {
- m = (p+r)/2;
- if(temp[m]<a[i]) p = m+1;
- else r = m-1;
- }
- temp[p] = a[i];//将长度为p的最大递增子序列的当前最末元素置为ai+1;
- if(p>Len) Len++;//更新当前最大递增子序列长度；
- }
- System.out.println(Len);
- }
【TreeSet解法】treeSet底层是使用红黑树实现，因此可以按照值的升序进行排序。
- set.ceiling(i)返回set集合中比i大的最小元素。
- public int lengthOfLIS2 (int[] nums) {
- /*
- * TreeSet是一个有序集合，TreeSet中的元素将按照升序排列，缺省是按照自然排序进行排列，
- * 意味着TreeSet中的元素要实现Comparable接口。或者有一个自定义的比较器。
- * 我们可以在构造TreeSet对象时，传递实现Comparator接口的比较器对象。
- */
- TreeSet<Integer> set = new TreeSet<>();
- for(int i : nums) {
- //Returns the least element in this set greater than or equal to the given element,
- //or null if there is no such element.
- Integer ceil = set.ceiling(i);
- if(null != ceil) {
- set.remove(ceil);
- }
- set.add(i);
- }
- return set.size();
- }
【问题2】最长不重复子串问题
【问题描述】Given a string, find the length of the longest substring without repeating characters.
搜索过程如下：记录上一次最长子串起始位置last，然后进行下一次搜索。比较得到最长不重复子串
- public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
- if(s.length()==0||s.length()==1)
- return s.length();
- char[] sArr=s.toCharArray();
- int last=0;
- int result=-1;
- int[] dp=new int[sArr.length];
- dp[0]=1;
- for(int i=1;i<sArr.length;i++){
- for(int j=i-1;j>=last;j--){
- if(sArr[i]==sArr[j]){
- last=j+1;//更新上一次最长子串起始位置
- dp[i]=i-j;//最长不重复子串
- break;
- }else if(j==last){
- dp[i]=dp[i-1]+1;//都不重复则更新最长不重复子串
- }
- }
- result=Math.max(dp[i], result);
- }
- return result;
【问题3】两个序列的最长公共子序列
既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组，用来LCS的长度。
第一步：先计算最长公共子序列的长度。
第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。
现有两个序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，
设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。
递推方程为：
- //最长公共子序列
- public int LCS(int[] a,int[] b){
- int[][] temp=new int[a.length+1][b.length+1];
- int result=0;int dp=0;
- for(int i=1;i<=a.length;i++)
- temp[i][0]=0;
- for(int j=0;j<=b.length;j++)
- temp[0][j]=0;
- for(int k=1;k<=a.length;k++){
- for(int l=1;l<=b.length;l++){
- if(a[k-1]==a[l-1])
- temp[k][l]=temp[k-1][l-1]+1;
- else if(temp[k][l-1]<=temp[k-1][l])
- temp[k][l]=temp[k][l-1];
- else
- temp[k][l]=temp[k-1][l];
- result=Math.max(temp[k][l], result);
- }
- }
- return result;
- }
动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景，可以有效的避免重复计算，根据上面的公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度。
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