密码学基础：群、环、域概念总结

2024-05-10 19:44:06

群

简而言之，群的概念可以理解为：一个集合以及定义在这个集合上的二元运算，满足群的四条公理，封闭性、结合性、单位元、反元素。具体理解为：

封闭性：在集合上作任意二元运算，不会诞生新的运算，这个集合已经经过充分的完美拓扑。

结合性：组合一个二元操作链，之间没有先后运算的区别，这种操作是平坦的（区别交换律）。

单位元：具有单位的属性，单位元和任何一个元素操作等于那个元素本身。

反元素：集合中任何一个元素，存在一个称为反元素的元素与那个元素进行操作后，最后的结果为单位元。

·可交换群

简而言之，可交换群就是在满足群的”四公理“的基础上在加上一个可交换的属性，可把满足可交换的操作满足对称性。

环

简而言之，环是细化的群，一个环中涉及两个二元运算，分别是(R,+)与(R, ·)，前者是个可交换群，后者是一个半群。半群可理解为仅仅满足封闭性以及结合律的群，则忽略了单位元与反元素的限制。似乎可以想象，如果一个群为以单元为中点的对称分布，则半群为群的单位元劈开的两瓣之一，所以称之为半群。

域

域的概念较为复杂，环的概念仅仅定义了两个运算，唯一的条件是，乘法关于加法满足可分配律。而进入到域的概念，则对这两个二元操作，强加了更多的限制。上面第一种定义很有趣，进入了除环的概念。在除环的基础上，额外加了一个可交换的限制条件。

·伽罗瓦域

从域过度到伽罗瓦域较为简单，仅仅额外的加了一个限制：有限个元素。

从群到环，再到域，是一个条件逐渐收敛的过程，条件的收敛，也带来对更小数学集合上更丰富的特性。

细化到伽罗瓦域，这些更丰富的特性，为后来EC码的诞生奠定了数学基础，具有工程上的可实现性。

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